Доказательство. Уравнение связи задает неявную зависимость у от х, поэтому будем считать, что у есть функция от х: у = у(х)

Уравнение связи задает неявную зависимость у от х, поэтому будем считать, что у есть функция от х: у = у(х). Тогда z есть сложная функция от х, и ее критические точки определяются условием:

. (17.4)

Из уравнения связи следует, что

. (17.5)

Умножим равенство (17.5) на некоторое число λ и сложим с (17.4). Получим:

, или .

Последнее равенство должно выполняться в стационарных точках, откуда следует:

(17.6)

Получена система трех уравнений относительно трех неизвестных: х, у и λ, причем первые два уравнения являются условиями стационарной точки функции Лагранжа. Исключая из системы (17.6) вспомогательное неизвестное λ, находим координаты точек, в которых исходная функция может иметь условный экстремум.

Замечание 1. Проверку наличия условного экстремума в найденной точке можно провести с помощью исследования частных производных второго порядка функции Лагранжа по аналогии с теоремой 2.

Замечание 2. Точки, в которых может достигаться условный экстремум функции f (x₁, x₂,…, x_n) при выполнении условий (17.2), можно определить как решения системы (17.7)

Пример.

Найдем условный экстремум функции z = xy при условии х + у = 1. Составим функцию Лагранжа L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Система (17.6) при этом выглядит так:

, откуда -2λ=1, λ=-0,5, х = у = -λ = 0,5. При этом L (x, y) можно представить в виде L (x, y) = -0,5 (x – y)² + 0,5 ≤ 0,5, поэтому в найденной стационарной точке L (x, y) имеет максимум, а z = xy – условный максимум.

Нахождение наибольших и наименьших значений

Пусть функция u = f (x₁, x₂,…, x_n) определена и непрерывна в некотором ограниченном и замкнутом множестве D и имеет на этом множестве конечные частные производные (за исключением, быть может, отдельных точек). Тогда эта функция достигает на D своего наибольшего и наименьшего значения (см. свойства непрерывных функций). Если это значение достигается во внутренней точке множества, то, очевидно, эта точка должна быть стационарной; кроме того, наибольшее и наименьшее значение может достигаться на границе множества D. Поэтому для определения наибольшего и наименьшего значений функции на множестве D требуется:

1) найти стационарные точки функции, принадлежащие D, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией на границе множества D;

3) выбрать наименьшее и наибольшее из полученных чисел, которые и будут являться наименьшим и наибольшим значениями функции на всем множестве D.

Примеры.

1. Найдем наибольшее значение функции z = sin x + sin y – sin (x + y) в треугольнике со сторонами х = 0, у = 0, х + у = 2π. Стационарные точки определяются из решения системы, откуда .

Единственной внутренней точкой данного треугольника, являющейся решением полученной системы, будет , в которой . Это значение оказывается наибольшим и на всем рассматриваемом множестве, так как на его границе z = 0.

2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции z = x ² + y ² - 12 x + 16 y в области x ² + y ² ≤ 25. , откуда х = 6, у = -8 – точка, не лежащая в заданном круге. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения данная функция принимает на границе области, то есть на окружности x ² + y ² = 25. Составим функцию Лагранжа L (x, y) = x ² + y ² - 12 x + 16 y + λ (x ² + y ² - 25). Ее стационарные точки найдем из системы. Получим , откуда λ₁ = 1, λ₂ = -3. Следовательно, стационарными точками являются (3, -4) и (-3, 4). В первой из них z = -75, во второй z = 125. Эти числа являются наименьшим и наибольшим значениями z в заданной области.

Дата добавления: 2014-01-04