Оценка постоянного аннуитета пренумерандо

Тема 8. ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ

1. Оценка постоянного аннуитета пренумерандо.

2. Метод депозитной книжки.

3. Бессрочный аннуитет.

4. Непрерывный аннуитет.

Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для нара­щенных сумм аннуитета пренумерандо можно легко вы­вести из формул (7.7), (7.11), (7.12), (7.14). Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регуляр­ными денежными поступлениями, равными А, и процентной ставкой , наращенный денежный поток имеет вид

…,

следовательно, учитывая (7.7),

(7.31)

т.е. наращенная сумма (будущая стоимость) аннуитета пренуме­рандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Аналогичным образом для аннуитета пренумерандо с начис­лением процентов раз в течение базового периода, используя (4.11), получим:

(7.32)

Для р -срочных аннуитетов с учетом (4.12), (4.14) можно на­писать следующие соотношения:

(7.33)

(7.34)

Конечно, (7.31) - (7.33) являются частными случаями (7.34). Из формулы (7.34) следует, что . Финансовый смысл этого неравенства очевиден: для получателя денежные поступления пренумерандо выгоднее, так как они начинаются на период раньше, чем постнумерандо, т.е. подтверждается вре­менная ценность денег: деньги "сейчас" предпочтительнее, чем "потом".

Несколько иной будет ситуация в р -срочном аннуитете пре­нумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты. В отличие от аннуи­тета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос "действует" еще ю) часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину. Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р, доставят величину .

После таких рассуждений качественного характера выведем аналитически формулу для будущей стоимости .

На последнее р -е поступление начисляются простые проценты за ю) часть периода, и оно будет равно , предпоследнее -е поступление станет равным и т.д. до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметиче­скую прогрессию, равна:

Таким образом, используя (7.13), получим:

(7.35)

С финансовой точки зрения эта формула следует из приве­денных качественных рассуждений. Поскольку к концу каждого периода взносы доставляют дополнительную величину , то к будущей стоимости исходного аннуитета постнумерандо нужно прибавить еще будущую стоимость аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями, равными , а это и есть второе слагаемое в формуле (7.35). Естественно, и в этом случае .

В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей аннуитетов пренумеран­до имеют вид, аналогичный формулам (7.31) - (7.34), т.е. нахо­дится приведенная стоимость соответствующего аннуитета по­стнумерандо и затем полученное значение умножается на соот­ветствующий множитель наращения. Таким образом, рассмат­ривая различные аннуитеты, можно написать:

(7.36)

(7.37)

(7.38)

(7.39)

Ясно, что . Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема под­разумевается в финансовой сделке - постнумерандо или пре­нумерандо; содержание финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой по­ступления денежных платежей.

Пример:

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма бу­дет на счете по истечении трех лет?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить. В соот­ветствии с формулой (7.31) найдем искомую сумму S:

тыс. руб.

Многие практические задачи могут быть решены различны­ми способами в зависимости от того, какой денежный поток вы­делен аналитиком. Рассмотрим простейший пример.

Пример:

Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок пять лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. тенге). По истечении пяти лет выплачивается дополни­тельное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно "безопасно" депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу пятилетне­го периода на счете будет сумма:

тыс. тенге

В отношении альтернативного варианта, предусматривающе­го возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. тенге можно немед­ленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с , , и единовременное получение суммы в 30 тыс. тенге;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с , , и единовременное получение сумм в 20 и 30 тыс. тенге.

В первом случае на основании формулы (7.7) имеем:

тыс. тенге.

. Во втором случае на основании формулы (7.31) имеем:

тыс. тенге.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому отве­ту. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,056 тыс. тенге), возврата доли от участия в венчур­ном проекте за последний год (20 тыс. тенге) и единовременного вознаграждения (30 тыс. тенге). Общая сумма составит, следова­тельно, 157,056 тыс. тенге. Предложение экономически нецелесо­образно.

В случае антисипативного начисления процентов формулы для оценки аннуитета пренумерандо получаются таким же обра­зом, как и приведенные ранее формулы. Величины будут умножаться на соответствующий множитель. На­пример, формулы типа (7.31), (7.36) будут иметь вид:

(7.40)

(7.41)

Если начисляются непрерывные проценты, то для получения формул определения будущей или приведенной стоимости ан­нуитета пренумерандо необходимо перейти к пределу при , например, в формулах (7.34), (7.39). Так, в частности, из (7.34) следует, что для непрерывных процентов

,

где - сила роста.

Дата добавления: 2014-01-04