![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Производная по направлениюДана функция U=f(x,y,z), дифференцируемая в точке M(x,y,z). Дадим x,y,z приращение
Т.к. функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке M(x,y,z), то её полное приращение представимо в виде: где Разделим обе части равенства на Но: Тогда: Перейдём к пределу при Опр. Если существует предел функции u=f(x,y,z) по направлению S и обозначается: Пример. Найти производную функции u=xy2+z3-xyz в точке М(1;1;2) в направлении, образующимся осями координат (углы:60°,45°,60°).
Градиент функции Дана функция u=f(x,y,z) Опр. Вектор, координатами которого являются частные производные от функции u=f(x,y,z), называется градиентом функции и обозначается: Пример. Найти точки, в которых модуль градиента функции
Во всех точках окружности с радиусом Связь производной по направлению с градиентом Известно, что:
Ho Если Если
Экстремум функции двух переменных
Точка (x0;y0) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если в любой ее окрестности выполняется неравенство: f(x0;y0)<f(x;y)
Необходимое условие экстремума функции двух переменных Если в точке (х0,у0) функция достигает максимума или минимума (если (х0,у0) - точка экстремума), то в этой точке её частные производные обращаются в нуль или не существуют, т.е. Доказательство: Дано: (х0,у0) - точка экстремума, z=f(x,y). Дадим у определённое значение у0. Тогда z=f(x,y0) будет функцией одной переменной х и согласно неоходимому условию экстремума функции одной переменной, производная от этой функции равна нулю или не существует т.е. Теорема.Достаточное условие экстремума функции двух переменных Пусть z=f(x,y) в критической точке (х0,у0) непрерывна и имеет частные производные включительно до второго порядка, и пусть 1. если 2. если 3. если 4. если
Наибольшее наименьшее значения функции в области Пусть функция непрерывна в замкнутой области. Тогда по свойству функций, непрерывных в замкнутой области, она достигает в этой области своего наименьшего m и наибольшего М значений. Чтобы найти эти значения, нужно: 1.найти критические точки функции и вычислить значение функции в этих 2.найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах; 3.среди найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
1.Находим критические точки: 2.Исследуем на границе: а)АО: x z (0)=0; z'=2x+1; 2x+1=0; б) OB: x=0; y Линия пересечения: z=y 2 +у. z (-3)=0; z (0)=6; в)АВ: уравнение: х+у=-3; у=-х-3 Линия пересечения: z=x2+(-x-3)2-х(-х-3)+х-х-3; z=3х2+9х+6; х z(0)=6; z'=6x+9; 6х+9=0; x=- z(-3)=6; 3. Среди найденых значений z выбираем наибольшее и наименьшее: m=-1, М=6.
Требуется найти экстремум функции z=f(x,y), при условии, что х и у связаны соотношением: Равенство Найдём (по правилу дифференцирования сложной функции): Продифференцируем функцию Равенство (2) умножим на некоторое число Раскроем скобки: Подберём Тогда Для облегчения написания этих условий вводится функция Лагранжа: Найдём:
Достаточное условие Составляется дифференциал: d 2 F= Если
Или в следующем виде: составляется другой вид достаточного условия. Если минимума. Пример. Найти экстремум функции: z=6-4x-3y при условии, что х2+у2=1 (т.к. лежат на окружности)
1) 2) Найдём:
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 646; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |