Ознаки Даламбера, Коші, Маклорена-Коші

Ознака Даламбера. Якщо , починаючи з деякого номера, і існує границя (скінчена або нескінчена)

, (14.13)

то при ряд збігається, при - розбігається. Якщо , то ознака не дає відповіді на питання збіжності.

Приклад 5. Дослідити на збіжність числовий ряд

.

Зауважимо, що . За ознакою Даламбера

Тому ряд збігається.

Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд

.

За ознакою Даламбера

Ознака відповіді про збіжність чи розбіжність ряду не дає. Але за необхідною ознакою збіжності маємо

, тобто ряд є розбіжним.

Радикальна ознака Коші. Якщо , починаючи з деякого номера, і існує границя (скінчена або нескінчена)

, (14.14)

то при ряд збігається, при - розбігається. При ознака відповіді на питання, розбіжний ряд чи збіжний, не дає.

Приклад 7. Дослідити на збіжність числовий ряд

.

За радикальною ознакою

,

тобто ряд збігається.

Інтегральна ознака Маклорена-Коші. Нехай члени ряду додатні і монотонно спадають:

і - така неперервна монотонно спадна функція, що , тоді ряд і невласний інтеграл І-го роду

(14.15)

збігаються або не збігаються одночасно.

Приклад 8. Дослідити на збіжність числовий ряд

.

Члени ряду додатні і монотонно спадають:

.

Введемо неперервну функцію . Тоді .

Розглянемо невласний інтеграл

Інтеграл розбігається. Тому за ознакою Коші-Маклорена ряд також розбігається.

Дата добавления: 2014-01-04