Область збіжності

ЛЕКЦІЯ 18: ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

Розглянемо послідовність , елементами якої є функції, визначені і неперервні в деякій області . З елементів функціональної послідовності складається функціональний ряд

(14.19)

При кожному фіксованому будемо мати числовий ряд. Значення , при якому ряд збігається, називається точкою збіжності ряду.

Сукупність усіх точок збіжності називається областю збіжності функціонального ряду.

Приклад 11. Визначити область збіжності функціонального ряду

.

Всі члени ряду визначені і неперервні на всій числовій прямій, крім точки х =-1. Якщо , то

і ,

тобто не виконується необхідна умова збіжності (14.8).

Якщо х =1, то і необхідна умова збіжності також не виконується.

Якщо , то даний ряд збігається абсолютно, бо збігається ряд з модулів. Це випливає з теореми порівняння. За теоремою 2 ряд з модулів поводить себе так само, як ряд з загальним членом .

Дійсно,

.

Але ряд є геометричною прогресією із знаменником . З того, що , випливає, що знаменник менший за одиницю і прогресія збігається. Тобто наш ряд збігається абсолютно при .

Область збіжності: .

Дата добавления: 2014-01-04