Математическое описание систем автоматического регулирования непрерывного действия

На представленной схеме показано, что между входными и выходными сигналами существует непрерывная функциональная связь во времени. В данном случае САР будет характеризоваться следующими параметрами:

y(t) - управляемый параметр; u(t) - управляющее воздействие;f(t) - возмущающее воздействие; e(t) – рассогласование сигналов;r(t) - задающее воздействие. Значения параметров системы в моменты времени t₁, t₂,... t_k дают полную информацию о состоянии САР. Пусть состояние ОР характеризуется функцией G(u,f,y), а регулятора - функцией Q(e,u), тогда закон функционирования системы может быть представлен в общем виде системой уравнений вида:

y (t) = G [ y^(1), y^(2),..., y^(n), f, f^(1),..., f^(l), u, u^(1),...,u^(q)]	(1.1)
u (t) = Q [ e, e ^(1),... e ^(n), u^(1),..., u^(q)]	(1.2)
e (t) = r (t) - y (t)	(1.3)

Переменные u и e - внутрение, их можно выразить через внешние переменные. Следовательно, можно записать:

y = F [ y^(1),...y^(n), f, f^(1),...f^(l), r, r^(1),...r^(m) ]

(1.4)

Здесь под y⁽ⁱ⁾, f⁽ⁱ⁾, r⁽¹⁾ понимаются соответствующие производные. Уравнение динамики (1.4) описывает переходные процессы, происходящие в системе. При проектировании сложных технических систем возникают проблемы вычислительного плана особенно, если уравнения нелинейные или высокого порядка. В таких случаях при оценке процессов, описывающих поведение динамической системы, в первом приближении пользуются упрощенной математической моделью, которая получается в ходе линеаризации нелинейного уравнения. Рассмотрим эту процедуру. Если F - аналитическая функция, то допускается разложение ее в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия (в нашем случае в точке, характеризующей установившееся состояние). Чем меньше отклонение от состояния равновесия, тем меньше ошибка, возникающая в результате замены нелинейного уравнения линейным. Допустим, что y(t) является функцией нелинейной, а F - аналитической. Учтем, что состояние равновесия характеризуется уравнением статики. Такое уравнение можно получить из уравнения (1.4), приравняв производные по времени к нулю:

y0 = F (0,... 0, f0, 0,...0,r0, 0,...0)

Пусть воздействия получили приращения и приняли вид:

r = r0 + D r, f = f0 + D f

Тогда в системе возникает переходной процесс:

y = y0 + D y.

Поскольку функция F - аналитическая, ее можно представить рядом Тейлора в окрестности точки равновесия, оставляя в разложении только линейные члены:

y = y0 + D y = F (0,...0, f0,0,...0, r0,0,...0) + y + +....

Далее, учитывая, что y₀ = F (0,... 0, f₀, 0,...0,r₀, 0,...0), отметим, что в уравнения динамики входят только отклонения, но не сами переменные, и

, поскольку = const,

поэтому символ D приращения можно опустить. Введем коэффициенты d, c, b, учитывающие частные производные функции F по y, r, f в точке равновесия, получим уравнение вида:

(1.5)

Уравнение (1.5) является линейным с постоянными коэффициентами и называется уравнением первого приближения. По виду уравнения динамики различают модели, описываемые алгебраическими уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, уравнениями в конечных разностях.

Дата добавления: 2014-01-05