Логарифмическая функция

Эта функция определяется как функция, обратная показательной: число w называется логарифмом числа z 0, если e= z, обозначается w = Ln z. Так как показательная функция e= z принимает любое значение, кроме нуля, то логарифмическая функция w = Ln z определена на всей плоскости z, кроме точки z = 0 (значит, имеет смысл, например, выражение Ln(-2)).

Ln z определяется равенством:

Ln z = ln| z | + i Arg z, Arg z = arg z + 2k

(k-любое целое число).

Эта формула показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т.е.

w = Ln z - многозначная функция.

При определённом значении k можно выделить однозначную ветвь этой функции. Положив k=0, получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма Ln z и обозначают символом ln z:

ln z = ln| z | + i arg z, где -<arg z .

Свойства логарифмической функции w = Ln z:

Ln (zz) = Ln z+ Ln z,

Ln = Ln z– Ln z,

Ln z n = nLn z,

Ln = Ln z

Пример 1. Вычислите Ln (-1) и ln (-1); ln 2i.

Дата добавления: 2014-01-05