Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа

2. Розглянемо деякі теореми, що дозволять давати відповідь на запитання про подільність найпростіших виразів на число.

Теорема 1: якщо кожен доданок суми цілих невід’ємних чисел ділиться на деяке натуральне число, то і сума цих чисел поділиться на це натуральне число.

Доведення: доведення проведемо для випадку двох доданків. Розглянемо цілі невід’ємні числа aÎ, bÎ, сÎN, a+bÎ. Нехай за умовою теореми , . Спробуємо довести, що (a+b)c. За означенням відношення подільності, якщо , , то існують такі к,mєN, що справедливі рівності а=с·к і в=с·m. Тоді а+в=ск+сm=с(к+m) (за дистрибутивним законом). Отже, a+b=c(k+m). Оскільки k, mÎ, то (k+m)Î. Таким чином, a+b=c(k+m). Тоді (a+b)c. Теорема доведена.

Доведену теорему можна поширити на будь-яке скінченне число доданків. Виявляється, що доведена теорема є лише достатньою ознакою подільності суми на число. Сформулюємо необхідну і достатню ознаку подільності суми на число, яку приймемо без доведення. Ознака: якщо один із кількох доданків суми цілих невід’ємних чисел ділиться на дане число, то для того, щоб сума ділилась на це число, необхідно і достатньо, щоб і кожен із решти доданків ділився на це число.

Дата добавления: 2014-01-05