Уравнение нестационарного температурного поля

При отсутствии внутренних источников тепла уравнение теплопроводности принимает вид (1):

. (1)

Вводя безразмерные координаты ; ; ; , где - начальный температурный напор; - характерный линейный размер тела, приводим уравнение (1) к виду (2):

. (2)

Из этого уравнения видно, что безразмерная температура является функцией критерия Фурье (3):

, (3)

т. е. сходственные времена пропорциональны квадрату линейного масштаба тела и обратно пропорциональны коэффициенту диффузии тепла.

Среди практических задач о нестационарной теплопроводности важнейшее значение имеют две группы процессов:

а) тело стремится к тепловому равновесию;

б) температура тела претерпевает периодические изменения.

К первой группе относятся процессы прогрева и охлаждения тел, помещенных в среду с некоторым заданным тепловым состоянием, например, прогрев болванки в печи, охлаждение закаливаемой детали и т. п. Ко второй группе относятся процессы в периодически действующих подогревателях, например, тепловой процесс регенераторов, кладка которых периодически то нагревается дымовыми газами, то охлаждается воздухом, который сам при этом подогревается. В этом случае процесс периодического колебания температуры и теплового потока называют тепловыми волнами.

Проблема решения уравнения (1) является чисто математической. Специальные физические соображения приходится привлекать только при задании соответствующих начальных и граничных условий. Однако в огромном числе практически важных задач и эта проблема, по существу, снимается возможностью принять температуру тела в начальный момент времени одинаковой во всех его точках. Температуру на поверхности тела обычно можно считать или постоянной за время протекания процесса, или зависящей от постоянного коэффициента теплоотдачи и меняющейся по заданному закону температуры окружающей среды (последнюю также во многих случаях можно считать постоянной).

Аналитический метод решения уравнения теплопроводности (1) первоначально был развит в работах Фурье и в дальнейшем нашел широкое применение в самых разнообразных областях математической физики. Метод Фурье применительно к фундаментальным задачам теории теплопроводности был подробно разработан Г. Гребером, Г. Карслоу, А. В. Лыковым, А. Н. Тихоновым и другими исследователями.

Дата добавления: 2014-01-05