Позиционные системы исчисления

Общепринятой в современном мире является десятичная позиционная система исчисления, которая из Индии через арабские страны пришла в Европу. Основой системы является число десять. Основой системы исчисления называется число, означающее, во сколько раз единица следующего разряда больше чем единица предыдущего. Общеупотребительной формой записи числа является сокращенная форма записи разложения по степеням основы системы счисления, например

130678=1*10⁵+3*10⁴+0*10³+6*10²+7*10¹+8

Здесь 10 служит основой системы счисления, а показатель степени - это номер позиции цифры в записи числа (нумерация ведется слева на право, начиная с нуля). Арифметические операции в этой системе выполняют по правилам, предложенным еще в средневековье. Например, складывая два многозначных числа, применяем правило сложения столбиком. При этом все сводится к сложению однозначных чисел, для которых необходимо знать таблицу сложения.

Проблема выбора системы счисления для представления чисел в памяти компьютера имеет большое практическое значение. В случае ее выбора обычно учитываются такие требования, как надежность представления чисел при использовании физических элементов, экономичность (использование таких систем исчисления, в которых количество элементов для представления чисел из некоторого диапазона было бы минимальном). Для изображения целых чисел от 1 до 999 в десятичной системе достаточно трех разрядов, то есть трех элементов. Поскольку каждый элемент может находиться в десяти состояниях, то общее количество состояний - 30, в двоичной системе исчисления: 999₁₀=1111100₂, необходимое количество состояний - 20 (индекс внизу числа - основа системы исчисления).

Более распространенной для представления чисел в памяти компьютера является двоичная система счисления. Для изображения чисел в этой системе необходимо две цифры: 0 и 1, то есть достаточно двух стойких состояний физических элементов. Эта система близка к оптимальной по экономичности, и кроме того, таблицы сложения и умножения в этой системе элементарные:

+				*

Поскольку 2³=8, а 2⁴=16, то каждых три двоичных разряда числа образовывают один восьмеричный, а каждых четыре двоичных разряда - один шестнадцатеричный. Поэтому для сокращения записи адресов и содержимого оперативной памяти компьютера используют шестнадцатеричную и восьмеричную системы исчисления. Ниже, в таблице 1 приведены первые 16 натуральных чисел, записанных в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 1

			A
			B
			C
			D
			E
			F

Для отладки программ и в других ситуациях в программировании актуальной является проблема перевода чисел из одной позиционной системы исчисления в другую. Если основа новой системы исчисления равняется некоторой степени старой системы исчисления, то алгоритм перевода очень простой: нужно сгруппировать справа налево разряды в количестве, равном показателю степени и заменить эту группу разрядов соответствующим символом новой системы исчисления. Этим алгоритмом удобно пользоваться при переводе числа из двоичной системы исчисления в восьмеричную или шестнадцатеричную. Например, 10110₂= 10110 =26₈, 1011100₂= 1011100 =5C₈

Перевод чисел из восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления в двоичную происходит по обратному правилу: один символ старой системы счисления заменяется группой разрядов новой системы счисления, в количестве равном показателю степени новой системы счисления. Например, 472₈= 100111010 =100111010₂, B5₁₆= 10110101 =10110101₂

Как видим, если основа одной системы счисления равняется некоторой степени другой, то перевод очень простой. В противном случае пользуются правилами перевода числа из одной позиционной системы счисления в другую (чаще всего при переводе из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную, и наоборот).

Дата добавления: 2014-01-05