Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Показательное распределение является частным случаем распределения Эрланга при k = 0.

Показательным (экспоненциальным ) называют распределение вероятностей непрерывной случайной вели­чины X. которое описывается плотностью

(3.1)

где λ – постоянная положительная величина.

Из выражения (3.1), следует, чтопоказательное распределение определяется одним параметром λ.

Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния) разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной вели­чины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока.

Найдем функцию распределения показательного закона.

Итак

(3.2)

Графики плотности и функции распределения показа­тельного закона изображены на рис. 3.1.

Рис.3.1.Графики плотности и функции распределения показательного закона

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b ) непрерывной случайной величины X, которая распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения

Используем известную формулу вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, а именно:

Учитывая, что получим:

(3.3)

Значения функции можно находить по таблице.

Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина Χ рас­пределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим

(3.4)

Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра λ.

Найдем дисперсию, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим

Следовательно:

(3.5)

Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

(3.6)

Сравнивая (3.4), (3.5) и (3.6), видно, что

(3.7)

т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Показательное распределение широко применяетсяв различных приложениях финансовых и технических задач, например, в теории надежности.

4. Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента.

4.1 Распределение «хи-квадрат» ( - распределение)

Пусть Χ_i (ί = 1, 2,..., n)—нормальные незави­симые случайные величины, причем математическое ожи­даниекаждой из нихравно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице.

Тогдасумма квадратов этих величин

распределена по закону с степенями свободы, если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы

Распределение хи-квадрат нашло широкое применение в математической статистике.

Плотность этого распределения

(4.1)

где - гамма-функция, в частности .

Отсюда видно, чтораспределение хи-квадрат опре­деляется одним параметром — числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободыраспределение хи-квадрат медленно приближается к нормальному.

Хи-квадрат распределение получается, если в законе распределения Эрланга принять λ = ½ и k = n /2 – 1.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение, определяются простыми формулами, которые приведем без вывода:

(4.2)

Из формулы следует, что при хи-квадрат распределение совпадает с экспоненциальным распределением при λ = ½.

Интегральная функция распределения при хи-квадрат распределенииопределяетсячерез специальные неполные табулированные гамма-функции

(4.3)

Применение системы уравнений (4.3), использующей табулированные (табличные) неполные гамма-функции, позволяет определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, имеющей хи-квадрат распределение.

f(x)

На рис.4.1. приведены графики плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей хи-квадрат распределениепри n = 4, 6, 10.

Рис.4.1. а)Графики плотности вероятности при хи-квадрат распределении

Рис.4.1. б)Графики функции распределения при хи-квадрат распределении

4.2 Распределение Стьюдента

Пусть Z – нормальная случайная величина, причём

а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону хи-квадрат с k степенями свободы.Тогда величина:

(4.4)

имеет распределение, которое называют t -распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета),

с k = n - 1 степенями свободы ( n - объём статистической выборки при решении задач статистки).

Итак, отношение нормированной нормальной величинык квадратному корню из независимой случайной вели­чины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степе­нями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента:

(4.5)

Дата добавления: 2014-01-06