КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ограниченные и неограниченные множества
Прямая Интервал Отрезок ПРОМЕЖУТКИ Свойства модуля МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА П.2. Расширение множества действительных чисел Определение 2.1. Если множество R (действительных чисел) дополнить символами + и –, и ввести операции «сложения», «умножения», отношение порядка следующим образом: 1. выполняется неравенство – < x <+. 2. 3. 4. Если x >0, то; если x <0, то. 5.;
6. Операции неопределенны. Тогда полученное множество называется расширенным множеством действительных чисел и обозначается или.
Определение 3.1. Модуль (абсолютная величина) действительного числа х обозначается | х | и определяется следующим образом:
Модуль числа х равен расстоянию от точки х до начала отсчёта 0. Для любого действительного числа х выполняются следующие неравенства и равенства: 1о. Доказательство.
2о. Пусть а >0, тогда Доказательство.
3о. Пусть а >0, тогда 4о. Доказательство.
5о. Доказательство.
6о. 7о. Доказательство 6о и 7о вытекает из правил умножения и деления действительных чисел и Опр.3.1.
Определение 4.1. Пусть a,b – действительные числа, причём a<b. Промежутком (числовым промежутком) называется каждое из следующих множеств полуинтервал или полупрямая (луч) или открытая полупрямая (открытый луч) или Множество [ a;b ] называется отрезком с началом a и концом b; (a;b) – интервалом с началом a и концом b; [ a;b), (a;b ] – полуинтервалом с началом a и концом b; любое число х (a<x<b) называется внутренней точкой этих промежутков. Множества называются бесконечными промежутками. Изобразим эти множества на числовой прямой:
[ a;b ] [ a;a ] (a;b) [ a;b) (a;b ]
Определение 4.2. О крестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку а. Геометрически окрестность изображают следующим образом:
Определение 4.3. Пусть. -окрестностью точки а называется интервал (а –; а +), т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству | х – а |<. При этом число называется радиусом окрестности, а точка а – центром окрестности. Обозначают U (a;). Геометрически -окрестность изображают следующим образом:
Определение 4.4. Пусть. Выколотой -окрестностью точки а называется интервал (а –; а +) без точки а, т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству 0<| х – а |<. Обозначают Геометрически изображают следующим образом:
Пример. Построить на координатной прямой U (2; 0,5)
В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества». Определение 5.1. Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что (). Число M (m), называется верхней (нижней) границей множества Х. Пример 5.1. Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:
Определение 5.2. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и m, что. В противном случае оно называется неограниченным. Это определение равносильно следующему Определение 5.3. Множество Х называется ограниченным, если существует такое число M >0, что. Множество Х называется неограниченным, если для любого числа M >0 существует такое число, что. Определение 5.4. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества Х называется верхней (нижней) гранью множества Х и обозначается sup X (inf X), читается supremum (infimum).
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 937; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |