Линейная корреляция. Нормальная корреляция

Рассмотрим двумерную случайную величину Если обе функции регрессии на и на линейны, то говорят, что и связаны линейной корреляционной зависимостью. Очевидно, что графики линейных функций регрессии - прямые линии. Можно доказать, что они совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии. Имеет место важная теорема.

Теорема. Если двумерная случайная величина распределена нормально, то и связаны линейной корреляционной зависимостью.

Доказательство. Двумерная плотность вероятности

(*)

где . (А)

Плотность вероятностей составляющей (п.19)

(**)

Найдем функцию регрессииДля чего найдем условный закон распределения величины при (п. 14):

Подставив (*) и (**) в правую часть формулы и выполнив выкладки, получим

Заменив в этой формуле , (А), окончательно получим

Полученное условное распределение нормально с математическим ожиданием (функцией регрессии на )

и дисперсией .

Аналогично можно получить функцию регрессии на :

Так как обе функции регрессии линейны, то корреляция между величинами и линейная, что и требовалось доказать.

Принимая во внимание вероятностный смысл параметров двумерного нормального распределения (п. 19), заключаем, что уравнения прямых регрессии

совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии (п.20).

Дата добавления: 2014-01-06