Числовая последовательность и ее предел

О.1.Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и ко­нечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Ограниченность.Функция, определенная на множестве называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует число, такое что для всех выполняется неравенство. Иначе функция называется неограниченной.

Число и любое большее (меньшее) число называется верхней (нижней) гранью множества значений функции , а наименьшее (наибольшее) из чисел, ограничивающих множество сверху (снизу), - точной верхней (нижней) гранью функции на множестве .

Например, функция ограничена на всей числовой оси, так как для любого .

4. Периодичность. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при любом значение и . При этом число называется периодом функции.

Если - период функции, то ее периодами будут также числа , где

За основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству.

Если функции и периодические с периодами и соответственно, то периодом их суммы, произведения, разности и частного является число , кратное и .

5. Явные и неявные функции. Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; напри­мер, функция у=х² +5х + 1.Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция у(у>0), заданная уравнением х⁵ + у² - х =0.

6. Обратная функция. Пусть есть функция от независи­мой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений , называется обратной.

Обратную функцию обозначают так же в виде . Например, для функции у=а^х обратной будет функ­ция х=log_aу или (в обычных обозначениях зависимой и незави­симой переменных) у= log_a x.

Таким образом, функция имеет обратную, тогда и только тогда, когда выполняется взаимно-однозначное соответствие между множествами и . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Графики взаимно обратных функ­ций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

7. Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией от переменной , определенной на множестве с обла­стью значений . Тогда заданная на множестве функция называется сложной функцией.

Переменнуюназывают промежуточным аргументом сложной функции.

Например, — сложная функция, так как ее можно представить в виде , где .

§2. Основные элементарные функции, классификация функций. Преобразование графиков функций

К основным элементарным относятся следующие функции: степенная функция у=х^α, α R; показательная функция у=а^х, а › 0, а ≠1; логарифмическая функция y=log_ax, а › 0, а ≠1; тригонометрические формулы и обратные тригонометрические формулы.

Например, функции ; является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функ­ции конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функции у= | х |, у= [ х ].

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргумен­том проводится конечное число алгебраических действий. К чис­лу алгебраических функций относятся:

1) целая рациональная функция (многочлен или полином):
;

2) дробно-рациональная функция — отношение двух многочленов;

3) иррациональная функция (если в составе операций над аргу­ментом имеется извлечение корня).

Любая неалгебраическая функция называется трансцендент­ной. К числу трансцендентных функций относятся функции: по­казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Рассмотрим методику построения графиков функций, основанную на применении некоторых правил построения по уже известным графикам функций.

Правило 1. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вправо, если , или на влево, если .

Правило 2. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функциисдвинуть вдоль оси на вверх, если , или на вниз, если .

Правило 3. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 4. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 5. Чтобы построить график функции , нужно значение ординаты графика функции умножить на число , а абсциссу оставить без изменения.

При этом от умножения всех значений функции на ординаты графика функции увеличатся в раз и происходит «растяжение» графика функции от оси в раз, а от умножения на при ординаты графика функции уменьшаются в раз и происходит «сжатие» графика функции к оси в раз.

Правило 6. Чтобы построить график функции , нужно значение разделить на число .

При этом от деления всех значений аргумента функции на график функции «сжимается» к оси в 1∕к раз, а от деления на при график функции «растягивается» от оси в 1∕к раз.

Правило 7. Чтобы получить график функции из графика функции , надо участки графика функции , лежащие выше оси , оставить без изменения, а участки ниже оси зеркально отразить относительно этой оси.

Правило 8. Чтобы получить график функции у= f(|х|) из графика функции , надо построить график функции , при и отразить его зеркально относительно оси .

О. 1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность {}: ().

Другими словами, числовая последовательность — это функция натурального аргумента: .

При этом числа () называются членами последовательности, число — общим или - м членом данной последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

2, 4, 6, 8,..., 2 n,... (монотонная, неограниченная), (1)

1, 0, 1, 0,... (не монотонная, ограниченная), (2)

0; , … (не монотонная, ограниченная). (3)

Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена, c помощью которой можно вычислить любой член последовательности. Так равенства: ; ; ; ; .

Задают соответственно последовательности:

(4)

(5)

(6)

(7)

О.2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число (число ) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству ().

О.3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют числа и такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству .

О.4. Последовательность называется неограниченной, если для любого числа существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Легко видеть, что последовательности и – ограничены, а и – неограниченны.

Рассмотрим числовую последовательность

0; , …

Изобразим ее члены точками числовой оси.

Можно заметить, что члены последовательности с ростом близко приближаются к 1. При этом абсолютная ве­тчина разности становится все меньше и меньше. Дейст­вительно: , , , , …, , …. т.е. с ростом величина будет меньше любого очень маленького положительного числа.

О.5. Число называется пределом числовой последо­вательности , если для любого числа , существует такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Пример. Показать, что предел

Решение:

Число является пределом последовательности с общим членом .

Дата добавления: 2014-01-06