Бесконечно малые ф-ции

Теорема об ограниченности

Свойства предела.

Теорема 1. Предел постоянной = самой постоянной.

Теорема 2. Последовательность не может иметь двух различных пределов, если предел существует, то он единственный.

Если функция имеет конечный предел, то она ограничена в окрестности точки а.

бесконечно большой, если ее предел

Св-ва б/м

1.. Сумма б/м есть б/м

2. Произведение б/м ф-ций на ограниченную, есть б/м

Следствия:

1. произведение б/м на const - б/м:

2. произведение б/м на ф-цию, имеющую предел, - б/м

3. произведение 2-х б/м – б/м:

Теорема 1. критерий существования предела

Понятие непрерывности ф-ции

опр 1: f(x) непрерывна и а, если

опр 2: f(x) непрерывна и а, если

Покажем, что это одно и то же:

непрерывность означает что предел можно ввести под знак ф-ции.

Свойства непрерывности функции:

1. f(x) непрерывна в а

непрерывны в а

g(x) непрерывна в а

Если ф-ции непрерывны, то их линейные комбинации тоже непрерывны

2. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения

3. f(x) непрерывна в а, g(x) непрерывна в а

непрерывна в а

4. y=f(x) непрерывна в а

обратная функция непрерывна в b=f(a)

I замечательный предел

Теорема.

Теорема Второй замечательный предел

Производная функции.

Y=f(x) определилась в окрестности U(Xo)

- функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.

Теорема: (о непрерывности дифференцируемой функции)

Если функция дифференцируема в Хо, тогда она непрерывна в этой точке.

Док-во:

, тогда

Значение f(x) непрерывно

Y(x) Xо=0, функция непрерывна.

Если ,

нет предела.

Функция не дифференцируема

Основные формулы дифференцирования.

1. (С)`=0

Док-во:

2. (сложение)

Док-во:

3.

Док-во:

Производная сохраняет линейные комбинации.

4. Производная произведения:

5. Производная частного:

Док-во:

6.Производная сложной функции:

Док-во:

7. Производная обратной функции

Док-во:

Если

Если

Производные элементарных функций

1. ,

2.

3.

4. ,,

5.

6. ,

9.

10.

11.

12.

13.

,

14. ,

15. ,

16. ,

Основные теоремы дифференциального исчисления

Т. Ферма

Пусть ф. непрерывна на , диф. на достигает своего наибольшего и наименьшего значения:

Д.

Т. Ролля.

непрерывна на , диф. на

Д.

Наибольшее , наименьшее .

1)

2)

Т. Логранжа.

непрерывна на , диф. на

Д.

непрерывна на , диф. на

- угловой коэф. конст.

,

=k

Т. Коши.

непрерывна на , диф. на

Д.

непрерывна на , диф. на

Теорема Логранжа – частный случай теоремы Коши

Т. Лопиталя

удовлетворяют условиям т. Коши

Д.

Замечание.

Вместо можно

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.

1.Монотонность

Теорема 1(необходимое условие монотонности)

- непрерывна и дифференцируема

Доказательство

Теорема 2 (достаточное условие монотонности)

- непрерывна и дифференцируема

Доказательство

(две произвольные точки)

C

2. Экстремумы

Определение. определена в окрестности

- точка максимума функции, если

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

- непрерывна и дифференцируема в

- точка экстремума функции

Доказательство.

- точка минимума

;

;

.

Стационарные точки – точки, в которых производная равна нулю.

Критические точки – точки, в которых производная равна нулю или имеет разрыв.

Экстремумы могут находится только среди критических точек.

Теорема 2.(достаточное условие экстремума)

- непрерывна и дифференцируема в

- критическая точка

- точка минимума

- точка максимума

Доказательство.

C

- точка минимума

Теорема 3.(Исследование на экстремум с помощью второй производной)

- непрерывна в

- непрерывна в

- точка максимума

- точка минимума

Доказательство.

,

- точка максимума

3.Вогнутость.

Кривая называется вогнутой вверх (выпуклой), если она лежит ниже касательной проведённой в любой точке отрезка.

Если кривая лежит выше касательной то она вогнута книзу или просто вогнута.

Теорема 1. (необходимое условие вогнутости)

- непрерывна и дифференцируема

Если вогнута кверху

Если вогнута книзу

Доказательство. (нестрогое доказательство)

Если кривая вогнута книзу то первая производная возрастает.

Теорема 2. (достаточное условие вогнутости)

- непрерывна и дифференцируема

Если , то вогнута книзу

Если , то вогнута кверху

Доказательство.

- кривая

- касательная

справа и слева. Ч.Т.Д.

4.Перегибы.

-точка перегиба кривой если с одной стороны она вогнута кверху, а с другой вогнута книзу.

Теорема 1.(необходимое условие перегиба)

- непрерывна и дифференцируема в

-точка перегиба

Доказательство.

Точка перегиба - точка экстремума для производной в критических точках второго порядка, нужно искать экстремумы.

Теорема 2.(достаточное условие перегиба)

- непрерывна в

- непрерывна в

- непрерывна в

или

Если производная второго порядка меняет знак при переходе через точку , то -точка перегиба.

Доказательство.

Следует из основного условия для экстремума.

5.Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты

называется асимптотой , если

2) Наклонные асимптоты

называется наклонной асимптотой , если

называется асимптотической кривой для , если

Вывод уравнения наклонной асимптоты.

(1)

подставляем в формулу (1)

Дата добавления: 2014-01-07