Произведение числа на вектор

Произведением числа на вектор в случае , называется вектор коллинеарный вектору , модуль которого равен и который направлен в ту же сторону, что и вектор , если , и в противоположную, если . Если или , то по определению .

Произведение числа на вектор обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Свойство (1) следует из определения произведения числа на вектор.

Для доказательства свойства (2) заметим, что в случае оба вектора и имеют одну и ту же длину, равную , и одно и то же направление (такое же, как , если и - числа одного знака, и противоположное с , если , и - числа разных знаков).

Соотношение очевидно, также верно, если ; или , или , ч.т.д.Докажем свойство (4) . Предположим, что векторы и неколлинеарны, а . Отложим вектор от точки А

.

А вектор от точки В

Тогда .

Построим векторы и (рис.85). Из подобия треугольников и следует (как в случае ) (так и в случае ), что . Но , следовательно

.

Замечание 1. Вектор , противоположный вектору , равен .

Замечание 2. Частное , где , определяется как произведение .

Замечание 3. Если , то вектор . Есть единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор . Отсюда .

Замечание 4. Если векторы и коллинеарны и , то отношением называется число , такое, что .

Если векторы и коллинеарны и направлены в одну сторону, то

,

а если в разные стороны, то

.

Если , то .

Отношение неколлинеарных векторов не определяется.

Замечание 5. Из замечания 4 и определения координаты точки, лежащей на оси координат (§ 2), следует, что координату точки М на оси координат с началом О и единичной точкой Е можно определить так:

; или ,

т.е. координата точки М, лежащей на декартовой оси координат, равна отношению вектора к масштабному вектору.

Из последнего соотношения следует, что

.

Дата добавления: 2014-01-07