Поняття про функціонали і оператори

Варіаційні задачі.

Нехай задано множину , де - одна незалежна змінна або сукупність кількох змінних.

Означення: Кажуть, що величина є функціоналом від функції якщо кожній функції ставиться у відповідність деяке число.

Означення: Множина функцій К називається лінійною або лінералом, якщо для довільних функцій .

Означення: Функціонал називається лінійним, якщо він заданий на лінійній множині К і для довільного , має місце:

Означення: Кажуть, що множині К заданий оператор, якщо кожній функції ставиться у відповідність одна і тільки одна функція .

Означення: Оператор називається лінійним, якщо він визначений на лінійній множині і для двох функцій виконується співвідношення:

Нехай К – множина функцій визначених дійсних і неперервних в деякій області .

Означення: Якщо це функції з К, тоді число будемо називати скалярним добутком та .

Означення: Якщо функція неперервна в області і оператор неперервний в цій області і виконується рівність:, то оператор називається самоспряжений:

Означення: Якщо для довільного виконується умова, що: і , то оператор називається додатнім.

Означення: Оператор називається додатньовизначеним, якщо для , існує М така, що:

Нехай заданий деякий функціонал . Задача про відшукання екстремуму цього функціоналу наз варіаційною задачею, іншими словами потрібно знайти таку функцію , що для довільного виконується нерівності:

Розглянемо додатній оператор А в деякому гільбертовому просторі Н. В даному випадку оператор є симетричним.

Нехай задане рівняння:

(1)

де: - деякий елемент цього простору

- деякій підмножині скрізь щільній в Н.

у – шуканий елемент.

Доведемо, що рівняння (1) має тільки один розв‘язок.

Нехай існує .

Тоді отже , що неможливо для додатного оператора.

Теорема1: Якщо рівняння (1) має розв‘язок, то він дає найменше значення функціоналу:

Теорема2: Якщо існує який задає функціоналу найменше значення, то буде розв‘язком рівняння (1).

ЗМІСТ

РОЗДІЛ 1. НАБЛИЖЕННЯ ЧИСЕЛ.. 3

§1. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ 3

§2 АБСОЛЮТНА І ВІДНОСНА ПОХИБКИ. ПРИЧИНИ ВИНИКНЕННЯ ПОХИБОК.. 3

§3 ПОХИБКИ АРИФМЕТИЧНИХ ДІЙ.. 4

§4 ЗАГАЛЬНА ПОХИБКА ДЛЯ ФОРМУЛИ.. 5

РОЗДІЛ 2. НАБЛИЖЕНІ РОЗВ’ЯЗКИ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ... 6

§1 ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ. ПРИНЦИП СТИСКУЮЧИХ ВІДОБРАЖЕНЬ В МЕТРИЧНОМУ ПРОСТОРІ. 6

§2 ВІДОКРЕМЛЕННЯ КОРЕНІВ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ... 7

§3 МЕТОД ПОДІЛУ ВІДРІЗКА ПОПОЛАМ (МЕТОД ДИХОТОМІЇ) 7

§4 УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ РІВНЯННЯ МЕТОДОМ ХОРД.. 8

(МЕТОД ПРОПОРЦІЙНИХ ВІДРІЗКІВ) 8

§5 МЕТОД ДОТИЧНИХ (МЕТОД НЬЮТОНА) 10

§6 МЕТОД ПРОСТОЇ ІТЕРАЦІЇ ДЛЯ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ... 11

§7 МЕТОД ПРОСТОЇ ІТЕРАЦІЇ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ, АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. 13

§8 ІТЕРАЦІЙНИЙ МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ.. 14

§9 ДОСТАТНІ УМОВИ ЗБІЖНОСТІ ІТЕРАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ.. 14

§10 ОЦІНКА ПОХИБКИ НАБЛИЖЕНЬ ПРОЦЕСУ ІТЕРАЦІЇ. 15

§11 МЕТОД КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ.. 15

§12 МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ... 17

РОЗДІЛ 3 ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ.. 19

§1 Постановка задачі інтерполяції 19

§2 НТЕРПОЛЯЦІЙНА ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА.. 19

§3 ОЕФІЦІЄНТИ ЛАГРАНЖА. ОЦІНКА ПОХИБКИ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ. 20

§4 CКІНЧЕННІ РІЗНИЦІ. 21

§5 УЗАГАЛЬНЕНА СТЕПІНЬ. 22

§6 ПЕРША ІНТЕРПОЛЯЦІЙНА ФОРМУЛА НЬЮТОНА.. 22

§7 ДРУГА ІНТЕРПОЛЯЦІЙНА ФОРМУЛА НЬЮТОНА.. 23

§8 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЇ. 25

§9 ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ІНТЕРПОЛЬОВАНИХ МНОГОЧЛЕНАМИ НЬЮТОНА 25

§10 ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ІНТЕРПОЛЬОВАНИХ МНОГОЧЛЕНАМИ ЛАГРАНЖА 25

§11 ЗАДАЧА ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ. ФОРМУЛИ ПРЯМОКУТНИКІВ 26

§12 КВАДРАТУРНІ ФОРМУЛИ НЬЮТОНА-КОТЕСА.. 27

§13 ФОРМУЛИ ТРАПЕЦІЇ. 28

§14 КВАДРАТУРНІ ФОРМУЛИ СІМПСОНА.. 29

§15 КУСКОВО-КУБІЧНА СПЛАЙН ІНТЕРПОЛЯЦІЯ.. 30

§16 ДЕЯКІ ВІДОМОСТІ ПРО РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ.. 32

§17 МНОГОЧЛЕНИ ЧЕБИШЕВА.. 33

§18 НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ В ЛІНІЙНОМУ НОРМОВАНОМУ ПРОСТОРІ. УМОВИ ІСНУВАННЯ ТА ЄДНОСТІ ЕЛЕМЕНТА НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ. 34

§19 СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ. 35

§21 НАЙКРАЩЕ РІВНОМІРНЕ НАБЛИЖЕННЯ. ТЕОРЕМА ЧЕБИШЕВА.. 37

§22 ТЕОРЕМА ВЕЄРШТРАСА.. 38

§23. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ МНОГОЧЛЕНИ НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ.. 41

§24. ПОБУДОВА АЛГЕБРАЇЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ.. 42

РОЗДІЛ 4. РОЗВЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ. 46

§1. МЕТОД ЕЙЛЕРА.. 46

§2. МОДИФІКАЦІЇ МЕТОДУ ЕЙЛЕРА.. 46

§3. МЕТОДИ РУНГЕ-КУТТА.. 47

§4. МЕТОД АДАМСА.. 49

§5. МЕТОД СКІНЧЕНИХ РІЗНИЦЬ ДЛЯ ГРАНИЧНОЇ ЗАДАЧІ, ДЛЯ ЛІНІЙНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З ЗМІННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ 50

§6. МЕТОД ПРОГОНКИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ.. 53

§7. МЕТОД СІТОК РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ЕЛІПТИЧНОГО ТИПУ.. 55

§8. МЕТОД СІТОК РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ.. 60

§9. МЕТОД СІТОК РОЗВ‘ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ.. 63

§10. МЕТОД ПРЯМИХ РОЗВ‘ЯЗУВАННЯ ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ.. 67

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ.. 67

§11. МЕТОД ПРЯМИХ РОЗВ‘ЯЗКУ ЗМІШАНОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ РІВНЯННЯ КОЛИВАННЯ СТРУНИ 70

§12. МЕТОД ПРОГОНКИ ДЛЯ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ. 71

§13. МЕТОД ПРОГОНКИ ДЛЯ РІВНЯННЯ ПУАСОНА.. 73

§14. ПОНЯТТЯ ПРО ФУНКЦІОНАЛИ І ОПЕРАТОРИ.. 75

Дата добавления: 2014-01-07