Точек разрыва функции

Функция у = f (х) называется непрерывной при х = x ₀ (в точке x ₀), если:

1) функция f (х) определена в точке x ₀ и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции f (х) в точке x ₀;

3) этот предел равен значению функции в точке x ₀ , то есть

(2)

Если положить х=x₀ +, то условие непрерывности (2) будет равносильно условию

т. Е. функция у = f (х) непрерывна в точке x ₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точка x ₀, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непре­рывности функции, называется точкой разрывафункции. Если в точке x ₀ существуют конечные пределы f (x ₀ - 0) и f (x ₀ +0), такие, что f (x ₀ - 0) f (x ₀+0), то x ₀ называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов f (x ₀ - 0) и f (x ₀+0) не существует или равен бесконечности, то точку x ₀ называют точкой разрыва второго рода. Если f (x ₀ - 0) =f (x ₀ +0) и функция f (х) не определена в точке x ₀, то точку x ₀ называют устранимой точкой разрыва функции.

Лекция 17

Дата добавления: 2014-01-07