Тема 4. Непрерывность функции в точке

Определение 4.1. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е. .

Тот же факт можно записать иначе: .

Определение 4.2. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

0 x₀-D x₀ x₀+D x

Пример разрывной функции:

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e x₀ x

Определение 4.3. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию верно неравенство .

Определение 4.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + a(x), где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.

Дата добавления: 2014-01-07