![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 1. 3
Замкнутые механические системы. Закон сохранения импульса. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, разделяют на внутренние и внешние. Внутренние силы обусловлены взаимодействием тел внутри системы. Внешние силы обусловлены воздействием на тела системы со стороны тел в эту систему не входящих. Если равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна нулю, или такие силы отсутствуют, то механическая система называется замкнутой. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N взаимодействующих частиц (материальных точек). Обозначим силу, действующую на частицу с номером i со стороны частицы с номером j через Просуммируем левые и правые части полученной системы. Будем иметь:
Заметим, что согласно третьему закону Ньютона
поэтому
Для замкнутой системы
или
где
где
Центр масс механической системы. Уравнение движения центра масс. Система центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы называется точка С, положение которой задается радиус-вектором, определяемым следующим образом
где
Так как
т.е. импульс механической системы равен произведению массы системы на скорость движения ее центра масс. Подставим теперь полученное соотношение (9) в (7), получим
Соотношение (10) представляет собой уравнение движения центра масс механической системы. Замечание: из (8) следует, что декартовы координаты центра масс определяются соотношениями
Замечание: поскольку в замкнутой системе
то центр масс такой системы либо покоится, либо двигается равномерно и прямолинейно. Система отсчета, в которой центр масс покоится, называется системой центра масс. Система центра масс является инерциальной. Кинетическая энергия частицы. Рассмотрим уравнение движения материальной точки
В этом уравнении F есть результирующая внешних сил, действующих на материальную точку. Умножим обе части на перемещение частицы
Перепишем последнее соотношение в виде
Определение: кинетической энергией частицы называется скалярная величина T, определяемая соотношением
Из (12) следует, что в замкнутой системе ( Если система не замкнута, то, как следует из (12),
где
В (15)
Потенциальные (консервативные) силы. Потенциальная энергия. Силовое поле. Сила F, действующая на материальную точку называется потенциальной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения материальной точки. Работа потенциальной силы по перемещению материальной точки на замкнутом участке траектории равна нулю, т.е.
Рассмотрим теперь систему N материальных точек. Предположим, что на каждую точку системы действуют только потенциальные силы. Тогда суммарная работа, совершаемая этими силами, по изменению взаимного положения точек системы, т.е. изменение ее конфигурации, будет зависеть только от начального и конечного состояний этой системы. Зададим текущее состояние системы некоторой функцией U. Тогда работа по переводу системы из состояния 1 в состояние 2 будет равна
Функцию U, определяющую текущее состояние системы, называют потенциальной энергией системы материальных точек. Элементарная работа потенциальных сил может быть представлена в виде
Из данного ранее определения потенциальной энергии вытекает, что
где Пусть теперь на каждую частицу рассматриваемой нами системы действуют внутренние и внешние потенциальные силы, а также внешние не потенциальные силы. В таком случае уравнение движения каждой точки системы следует представлять в виде
где
С учетом (13) и (19) последнее соотношение может быть записано в виде
Просуммировав последнее соотношение по всем N материальным точкам, находим
или
Величина
равная сумме кинетической и потенциальной энергий системы, называется полной механической энергией системы. Интегрируя соотношение (23) при переходе системы из состояния 1 в состояние 2, находим
Таким образом,
Соотношения (24), (25) выражают собой закон изменения полной механической энергии системы, согласно которому изменение полной механической энергии системы равно работе внешних не потенциальных сил, действующих на систему. В качестве таких сил могут выступать, например, силы трения. Работа силы трения зависит от величины пройденного телом пути, т.е. от вида траектории его движения. Согласно определению элементарная работа равна
где α – угол между векторами F и d s. Поскольку направление вектора силы трения всегда противоположно направлению вектора перемещения, работ сил трения всегда отрицательна. Последнее в соответствии с (25) означает, что движение частиц механической системы при наличии сил трения будет сопровождаться убылью полной механической энергии, так как
Конечно такое утверждение справедливо, если система не получает дополнительную энергию из каких-либо внешних источников. Пример (колебания маятника в воздухе). Процесс убыли механической энергии системы, приводящий в частности к рассеянию ее в окружающее пространство, называется диссипацией. Силы, вызывающие такое рассеяние называют диссипативными. В случае, если внешние не потенциальные силы отсутствуют,
Последнее соотношение есть математическая форма записи закона сохранения механической энергии: в отсутствии внешних не потенциальных сил полная механическая энергия системы остается постоянной. Связь между потенциальной энергией и силой. Рассмотрим частицу, движущуюся под действием результирующей внешней потенциальной силы F. Согласно (18)
С другой стороны
Сопоставляя (28) и (29) находим, что
Анализируя (28) – (30) видим, что
Оператор называется оператором градиента. Заметим, что (31) определяет условие потенциальности (консервативности) силы, т.е. если сила потенциальная, то она с необходимостью должна удовлетворять условию (31). Силовое поле. Если частица, будучи помещенной в любую точку рассматриваемой области пространства, оказывается под воздействием силы, то говорят, что в рассматриваемой области пространства существует силовое поле. Одним из примеров силового поля является поле сил земного тяготения. Другой пример силового поля, электростатическое поле, которое может быть создано, например, точечным зарядом. Как поле сил земного тяготения, так и поле точечного заряда характеризуются тем, что сила действующая на частицу, помещенную в такое поле, направлена по прямой, соединяющей частицу и некоторую неподвижную точку пространства (место расположения точечного заряда или центр Земли). При этом величина силы оказывается зависящей только от расстояния между этой точкой пространства и частицей, т.е. Гравитационное поле. Напряженность и потенциал гравитационного поля. Ранее мы установили, что между любыми двумя частицами с массами m 1 и m 2 существует сила взаимодействия – сила гравитационного притяжения, равная по модулю
Так как данная сила с той или иной интенсивностью будет действовать на тела в не зависимости от их взаимного положения в пространстве, то можно говорить о том, что каждое тело, обладающее массой, создает вокруг себя силовое поле, называемое гравитационным. Наличие этого поля как раз и проявляется в том, что между двумя телами, помещенными на некотором расстоянии друг от друга, возникает сила гравитационного взаимодействия. Говорят еще, что тела взаимодействуют друг с другом посредством силового поля. Рассмотрим тело массой m, помещенное в некоторую точку пространства. Сила взаимодействия этого тела с другим телом массой m ', помещенным на расстоянии r от него будет равна
Как видно из (32), в независимости от массы второго тела отношение есть величина, зависящая только от массы первого тела и от расстояния между телами. Последнее соотношение можно записать в виде
где
Применительно к рассмотрению гравитационного поля Земли вблизи ее поверхности получаем
Таким образом, известное нам ускорение свободного падения оказывается ни чем иным как напряженностью гравитационного поля Земли вблизи ее поверхности. Отметим также, что согласно (30)
откуда
И вновь, аналогично показанному ранее, отношение оказывается зависящим только от массы тела и расстояния между взаимодействующими телами, иначе расстояния до точки наблюдения. Эту величину обозначают
и называют потенциалом гравитационного поля. Заметим, что согласно (37) работа по перемещению частицы в таком поле из положения 1 в положение 2 равна
т.е. работа равна произведению массы частицы на разность потенциалов гравитационного поля. Заметим также, что поскольку
а также
то
Последнее соотношение выражает связь между напряженностью гравитационного поля и его потенциалом. Движение тела переменной массы. Реактивное движение. Формула Циолковского. Рассмотрим движение ракеты массой m, летящей по прямой. Пусть скорость выброса газов относительно ракеты равна u. Запишем уравнение движения нашей ракеты, учтя, что масса ракеты уменьшается вследствие выброса газов. Будем иметь
Рассмотрим рис. 5. Пусть ракета, имея в начальный момент массу m и двигаясь со скоростью После выброса газов скорость и масса ракеты изменятся, так что импульс ракеты станет равным
Изменение импульса системы
Последнее соотношение можно записать в виде
Здесь мы пренебрегли величиной
Подставив (39) в уравнение движения найдем, что
или
где есть реактивная сила. Соотношение (40) впервые было получено И.В. Мещерским. Предположим, что на ракету не действуют внешние силы. Тогда из (40) следует
Запишем (41) в проекции на направление движения ракеты, при этом учтем, что
или
Проинтегрируем это соотношение слева по
Соотношение
было получено К.Э. Циолковским и носит название формулы Циолковского.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 314; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |