Резонанс

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом, а соответствующая частота − резонансной частотой.

Найдем резонансную частоту. Амплитуда вынужденных колебаний будет max, когда выражение в уравнении (5.8.13) будет минимальным.

Продифференцируем это выражение по w и приравняем к нулю

. (5.9.1)

Полученное уравнение имеет три решения: и . Первое решение соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, резонансная циклическая частота

. (5.9.2)

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

. (5.9.3)

Из последнего уравнения (5.9.3) следует, что при отсутствии
сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же условиях (при b = 0), совпадала бы с собственной частотой колебаний системы w₀.

. (5.9.4)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы показана графически на рис. 5.9.1. В соответствии с (5.9.2) и (5.9.3), чем меньше параметр b, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Изображенная на рис. 5.9.1 совокупность графиков функций (5.8.13), соответствующих различным значениям параметра b, называется резонансными кривыми.

При стремлении w к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F ₀.

При стремлении w к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Наконец, отметим, что чем меньше b, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум. При малом затухании (т. е. ) амплитуда при резонансе приближенно равна . Разделим это выражение на смещение х ₀ из положения равновесия под действием постоянной силы F ₀, равное . В результате получим

, (5.9.5)

где d = b Т – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – добротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это справедливо лишь при небольшом затухании.

Дата добавления: 2014-01-07