КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Достаточность
Необходимость доказана.
Доказательство будем проводить для случая . Это доказательство легко распространяется на случай .
При функции зависят от трех переменных : , ,
и являются непрерывно дифференцируемыми по этим переменным в области . Покажем, что если выполнены условия (2.3.7), то можно построить такую непрерывно дифференцируемую функцию в некоторой области , для которой будет выполняться
(2.3.13)
Если это будет доказано, то из непрерывной дифференцируемости функции следует существование полного дифференциала этой функции
,
а из тождеств (2.3.13) — его совпадение с левой частью уравнения (2.3.5):
.
Итак, докажем существование такой функции .
Зафиксируем любую точку и выберем ограниченную область , которая содержит эту точку. Положим
Здесь интегрирование осуществляется по каждой координате , , вне зависимости от значений двух других координат , , . Кроме того, — это произвольно выбранное фиксированное значение функции в точке .
Очевидно, функция определена и непрерывна по совокупности переменных в некоторой области , целиком содержащейся в области .
Такой областью , например, является параллелепипед с гранями, параллельными соответствующим координатным осям , вписанный в область и содержащий точку .
Из вида функции заключаем, что она непрерывно дифференцируема по переменным , поскольку интегралы непрерывно дифференцируемы по верхнему пределу, подынтегральные функции непрерывно дифференцируемы по параметрам, и интегралы берутся по ограниченному промежутку изменения переменных (ибо область ограничена).
Вычислим в любой точке и покажем, что для них справедливы тождества (2.3.13) при любом . Очевидно, при будем иметь
,
т.е. справедливо первое тождество в (2.3.13).
Покажем справедливость второго тождества в (2.3.13). Согласно правилу Лейбница – правилу вычисления производной интеграла, зависящего от параметра [см. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2, М.: Наука, 1969, стр.661], при можем записать:
. (2.3.14)
Воспользуемся тождеством (2.3.7)
.
Записанное для функций и , это тождество справедливо для всех , а значит, и для всех .
Заменим подынтегральное выражение в (2.3.14) правой частью тождества.
.
Результат вычисления интеграла подставим в правую часть формулы (2.3.14):
.
Данное равенство справедливо при любом . Этим доказали справедливость второго тождества в (2.3.13). Докажем справедливость третьего тождества в (2.3.13). Применим правило Лейбница при вычислении . Учитывая тождества (2.3.7) , ,
и заменяя подынтегральные выражения правыми частями этих тождеств, получим
.
Отсюда следует: для . Теорема доказана. 2. Дополнение 2 к п.3 §3 (к стр. 10 лекции)
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 248; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |