Необходимость. Теорема 3(первая теорема Фробениуса)

Дополнение 3 к п. 3 (к стр. 11 лекции)

Теорема 3 (первая теорема Фробениуса)

Для того чтобы уравнение (2.3.5)

(2.3.5)

было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия хотя бы для одного индекса , , для которого :

(2.3.19)

для всех , причем и .

Пусть уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо. Проведем предварительное преобразование уравнения (2.3.5).

Так как для существует такое, что и при из окрестности точки , то можем записать уравнение (2.3.5) в виде

. (2.3.20)

Поскольку уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо, то существует функция , которая при подстановке в левую часть уравнения (2.3.5) и дифференциала вместо переменной и дифференциала обращает ее в тождественный нуль.

Это значит, что при такой замене и в обеих частях равенства (2.3.20) оно также обращается в тождество.

Отсюда можем сделать вывод, что правая часть соотношения (2.3.20) при подстановке в нее вместо функции , т.е. при замене в ней в коэффициентах и переменной на , представляет собой полный дифференциал функции .

А тогда для правой части равенства (2.3.20) (если ее рассматривать как функцию переменных и ) справедливы условия теоремы 1.

Запишем эти условия для (коэффициентов правой части равенства (2.3.20)), учитывая, что в них сделана замена . Тогда будем иметь, учитывая, что в условиях теоремы 1 роль функции играет функция

,

а роль коэффициентов — коэффициенты уравнения (2.3.20), имеющие вид

, ,

где обозначает совокупность переменных

.

Тогда условие (2.3.6) примет вид:

, . (2.3.21)

Производную обозначим , имея в виду, что . Тогда условие (2.3.7) запишется так:

, . (2.3.22)

Раскроем условие (2.3.22) с учетом (2.3.21). Получим

.

Заменим множитель , стоящий в первой и второй скобках правой части, по формуле (2.3.21) и умножим обе части равенства на .

Получим

. (2.3.23)

Поступая аналогично с правой частью условия (2.3.22), будем иметь

. (2.3.24)

Согласно условию (2.3.22), левые части равенств (2.3.23) и (2.3.24) совпадают. Поэтому, вычитая (2.3.23) из (2.3.24), получим

,

что и требовалось доказать. Необходимость доказана.

Дата добавления: 2014-01-07