Первый замечательный предел

Замечательные пределы

Сложная функция и ее непрерывность

Пусть функция x=j(t) задана на множестве {t}, и пусть {x}- множество ее значений. Допустим, что на множестве {x} задана функция y=f(x). Тогда на множестве {t} задана сложная функция y=f(j(t))=F(t). Предположим, что aÎj(t) является предельной точкой множества {t}; aÎj(t); b=j(a) Î {x} является предельной точкой множества {x}.

Теорема. Пусть

x=j(t) Î C{a}, y=f(x) Î C{b}, где b=j(a). Тогда y=f(j(t))=F(t) Î C{a}.

Доказательство. Сначала установим справедливость неравенства 0<sinx<x<tgx при 0<x<. (1)

Рассмотрим следующие фигуры (см. рис. 1):

треугольники AOB и АОС и сектор АОВ Для них SDAOB<Sсект. АОВ<SDАОС, т.е. . Сокращая на , получаем неравенства (1) Пусть 0<x<.

рис.10

Из (1) деля на sinx, имеем 0<1<или

cosx<.

Эти неравенства справедливы и для значений x, удовлетворяющих условиям , так как cosx=cos(-x) и . Функция y=cosx - непрерывна на всей числовой оси (см., например, Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.- М.: Наука, 1971, ч.1, гл.4, *5, п.6, с.120) поэтому . Итак, для функции cosx, 1,в некоторой d-окрестности точки x=0 выполняются все условия теоремы 2 п.3.12. о предельном переходе в функциональных неравенствах(f(x)=cosx, g(x)=1, h(x)= и d=).

Следовательно, .

Дата добавления: 2014-01-07