Замечание 1

Теорема Лопиталя-Бернулли позволяет раскрывать неопределённости

Замечание 2. Обычно при вычислении пределов записывают только необходимые преобразования, а проверку выполнения условий теоремы Лопиталя-Бернулли делают по ходу вычислений. Если при этом окажется, что отношение производных снова представляет неопределённость , то правило Лопиталя-Бернулли применяют повторно.

Пример 2. =

Замечание 3. Теорема Лопиталя-Бернулли остаётся верной и в случае, когда х→∞, х→+∞, х→−∞.

Пример 3. −

Замечание 4. Если в теореме Лопиталя-Бернулли заменить требование

f(x) = g(x) = 0

на условие

f(x) = g(x) = ∞,

то теорема остаётся верной. В такой формулировке правило Лопиталя-

Бернулли позволяет раскрывать неопределённости вида

Пример 4. Найти .

Решение. ===…==

=

Замечание 5. Неопределённости вида 0× ∞ и ∞ − ∞ можно свести к неопределённостям вида и , а затем раскрыть с помощью правила Лопиталя-Бернулли.

Пример 5. Найти предел .

Решение. ()=(0×∞)==

Пример 6. (∞ − ∞)=

Замечание 6. Неопределённости вида 0⁰, 1^∞, ∞⁰ имеют место при рассмотрении функций у = f(x)^g(x). Эти неопределённости с помощью тождества

f(x)^g(x) = е^g(x)ℓnf(x)

сводятся к неопределённостям, которые рассмотрены выше.

Дата добавления: 2014-01-07