Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом, когда нижний (левый) предел a фиксирован, а верхний (правый) предел последовательно переносится в точки , ,…, .

Рис. 4

Из приводимого рис. 4 видно, что

, ,…, .

Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом зависит от положения этого верхнего предела и, следовательно, является функцией этого верхнего предела. В этом случае можно вести разговор об отыскании производной от по верхнему пределу . Справедлива следующая теорема об интеграле с переменным верхним пределом: производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом по его верхнему пределу равна подынтегральной функции:

.

Данная теорема имеет следующее важное следствие: всякая непрерывная функция имеет первообразную. Этой первообразной для непрерывной функции является , поскольку . Таким образом, для всякой непрерывной функции существует первообразная , а значит и семейство первообразных , т.е. неопределенный интеграл .

2.3. Теорема Ньютона – Лейбница

Теорема Ньютона – Лейбница дает возможность вычислять определенный интеграл через вычисление первообразных и имеет следующий вид: значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегрирования: , где .

Теперь, отвечая на вопрос, какая разница между неопределенным и определенным интегралами, скажем, что между ними нет ничего общего.

Неопределенный интеграл – все множество первообразных функций:

, где .

Определенный интеграл, число, равное пределу n -ых интегральных сумм:

.

Отвечая на вопрос, что связывает два этих понятия, скажем, что связывает их то, что определенный интеграл вычисляется через вычисление первообразной, то есть через неопределенный интеграл.

П р и м е р. .

.

Дата добавления: 2014-01-14