Способы вычисления определенных интегралов

Как и при вычислении неопределенных интегралов методов вычисления определенных интегралов всего два. Метод замены переменной (метод подстановки) и метод интегрирования по частям. В случае вычисления определенных интегралов эти методы имеют свою специфику.

Метод замены переменной

Этот метод базируется на следующей теореме: если в интервале[ ]функции , , - непрерывны и , , то

. (2.3)

Из соотношения (2.3) видно, что подынтегральное выражение преобразуется при замене переменной здесь, так же как и в неопределенном интеграле. Новые пределы и в правом интеграле являются корнями уравнений и относительно . Иногда замена переменной в определенном интеграле производится по формуле , выражающей новую переменную через старую. Тогда новые пределы интегрирования определяются по формулам , . Основная специфика в случае замены переменной в определенном интеграле состоит в том, что при замене пределов интегрирования отпадает необходимость возврата к исходной переменной, что часто является трудоемкой процедурой при вычислении неопределенных интегралов.

П р и м е р. ,

ввели замену переменной , тогда и , .

Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям в случае определенного интеграла имеет вид

. (2.4)

Здесь , и пределы интегрирования и проставлены по переменной .

П р и м е р. ;

, .

Дата добавления: 2014-01-14