Основные понятия. 1 Пространство исходов. Испытанием называется определенная последовательность действий, которую можно воспроизвести любое число раз

1 Пространство исходов . Испытанием называется определенная последовательность действий, которую можно воспроизвести любое число раз. Оно называется случайным, если его результат невозможно предсказать. Цель испытания – изучение некоторой системы или явления.

Всякое свойство системы, которое можно обнаружить или не обнаружить в результате случайного испытания наз событием.

Среди всех событий выделяют множество – элем событий, его называют пространством исходов, которые отвечают требованию: непременно наступает одно и только одно из них. Кроме того, для каждого события и любого исхода должно быть известно влечет исход ω наступление или нет. Если да, то ω наз благоприятствующим , и это выражают в виде иначе , т.о. всякое событие является частью , .

2 Алгебра событий. События можно складывать, умножать и переходить к противоположному событию.

1) Суммой событий и наз. событие ;

пусть – последовательность событий, их суммой наз. событие , которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий послед, .

2) Произведением и наз. событие ;

3) Противоположным событием к A наз. событие ;

4) тоже событие, оно наз достоверным событием;

5) Невозможным наз событие, которое никогда не наступает, его обозначают символом ;

6) События A и B наз несовместными событиями если .

Существует масса формул, которые связывают эти операции:

Имеется тесная связь между операциями над событиями и множ.

Пусть некоторый класс событий, наз алгеброй если

1) ; 2) ; 3) .

В частности, , если , т.к.

3 Вероятностью на алгебре наз. правило P, которое ставит в соответствие число и удовлетворяет следующим условиям

1) 2) 3) , если попарно несовместные события.

В частности, если .

Тройка наз вероятностным пространством.

Из указанных условий получаем два утверждения:

1.

·

2.

· ,

Следствие.

4 Вычисление вероятности

Классическая схема: если −конечное и все исходы одинаково возможны, тогда , где – число исходов, которые приводят к наступлению A, а – число всех исходов. При решении задач на КС используют комбинаторные формулы. Каждая такая формула определяет общее число исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу m элем из n различных элементов исходного множества. При этом оговаривается (1) способ выбора и (2) что следует понимать под различными выборками. Существуют 2 схемы выбора, с возвращением и без него. Кроме того выбранные элементы могут быть упорядочены или нет. Получаем 4 конструкции.

1.Опыт состоит в выборе m элементов без возвращения и без упоряд, исходы различаются составом элементов. Комбинации такого сорта наз. сочетаниями из n элем по m, их общее число .

Пр. (14.79, 14.83, 14.84)

2.Выбор m элементов без возвр, но с упорядочиванием по мере выбора, исходы различаются составом элементов или порядком их следования. Такие комбинации наз размещениями из n элем по m, их общее число . При равенстве получаем , и опыт состоит в выборе случайной перестановки.

Пр. (14.90, 14.91, 14.97)

3.Выбор m элем с возвр, но без упоряд, исходы различаются составом элементов, которые могут повторяться. Такие исходы наз сочетаниями с повторениями, их общее число .

Пр. (14.98)

4.Выбор m элем с возвр. и с упоряд. по мере выбора, исходы различаются составом или порядком следования. Такие комбинации наз размещениями с повторениями, их общее число .

Пр. (14.100)

Геометрические вероятности: если Ω можно представить в виде множества D_Ω Ì R², и каждая точка D_Ω одинаково возможна, тогда P(A)=S(D_A)/S(D_Ω) – отношение площадей.

Пр.: задача Бюффона Пр. (14.148, 14.143, 14.154)

Дата добавления: 2014-01-14