Периодические граничные условия Борна-Кармана

Может показаться, что приведенный выше расчет плотности состояний не совсем правильный из-за принятых нами допущений о закреплении атомов на концах линейной конечной цепочки (поскольку такое условие приводит к тому, что существуют только стоячие, а не бегущие волны).

Рассмотрим бесконечную линейную цепочку атомов, расположенных на расстояниях а друг от друга. Пусть в ней распространяются бегущие волны.

Введем ограничение, называемое Периодические граничные условия Борна-Кармана: смещения в любой разрешенной моде повторяются через расстояние L = Na. Таким образом, мы имеем u_r=u _N+r и т. д.

Моды, которые могут распространяться при этих условиях, должны иметь следующие волновые векторы:

, (14)

где знаки плюс и минус соответствуют волнам, распространяющимся в противоположные стороны.

Из сравнения выражений (12) и (14) следует, что в случае одномерного кристалла для стоячих или бегущих волн плотность состояний g(k) на единичный интервал |к| равна 1/π (1/2π для отрицательных K+ 1/2π для отрицательных K).

ВЫВОД: плотность состояний бесконечной цепочки не зависит от наложенных граничных условий. Вывод может быть распространен на трехмерный кристалл большого размера.

Но бесконечная линейная цепочка атомов — это не то, с чем мы имеем дело в реальности.

Однако полученный нами факт, что граничные условия не играют существенной роли для линейной цепочки, позволяет утверждать, что в реальном трехмерном кристалле плотность состояний как функция волнового вектора, частоты или энергии не зависит от формы и природы поверхности кристалла, но лишь при условии, что размеры кристалла значительно превышают атомные размеры.

В задачах физики твердого тела нередко встречаются

случаи, когда необходимо знать зависимость плотности состояний не только от k – g(k), но и от 𝜔 – g(𝜔).

Для линейной одноатомной цепочки, которую мы только что рассмотрели, можно записать

(15)

А поскольку, согласно (8)

(16)

мы имеем для групповой скорости

. (17)

Подставляя это выражение в (15), получаем для плотности состояний фотонов

(18)

Таким образом, g(𝜔) имеет явную зависимость от 𝜔 и

действительно обращается в бесконечность на верхнем пределе.

К этому выражению для g(𝜔) мы будем нередко обращаться, а при рассмотрении квантовой теории теплоемкости в разд. 2.4 мы будем иметь дело с более сложным выражением для g(𝜔).

Мы видели, что разрешенные моды для линейной цепочки с заданной периодичностью на длине L образуют последовательность точек в одномерном k-пространстве, расстояние между которыми равно 2π/L. Это представление иллюстрируется рис. 4а.

Рис. 4. Распределение разрешенных колебательных состояний в к-пространстве, когда периодичность задается длиной L. а — для одноатомной линейной решетки; б — для трехмерной решетки; показаны состояния лишь в положительном квадранте плоскости kxky.

Такое же представление можно применить к разрешенным модам в k-пространстве для трехмерного кристалла. На рис. 4б в целях удобства изображено всего лишь несколько разрешенных мод, все остальные смещения разрешенных мод должны быть периодическими с периодом L вдоль каждой оси декартовых координат. Из рисунка видно, что в k-пространстве каждое разрешенное состояние занимает объем (2π/L)³.

Поскольку объем шарового слоя радиусом K=|k| и толщиной dk с центром в начале координат равен 4πk²dk, число разрешенных колебательных состояний в интервале dk должно быть равно

(19)

Изображенное на рис. 4б распределение мод в k-пространстве будет простираться до границ зоны Бриллюэна во всех направлениях.

В случае трехмерного кристалла вывод зависимости g(𝜔) оказывается значительно более сложным, чем для

одномерного кристалла, хотя совсем нетрудно показать, что

в низкочастотной бездисперсионной области g(𝜔) может изменяться как 𝜔² (см. задачу 2.4).

Вычисление полного числа мод является сложной задачей для большинства реальных кристаллов, но, к счастью, мы можем воспользоваться тем, что

любая совокупность N атомов в трехмерном пространстве в целом может колебаться 3N различными способами. Разумеется, это число 3N равно числу классических степеней свободы у N атомов.

Две трети из этих 3N мод (т. е. 2N) соответствуют поперечным волнам и одна треть (N) — продольным. На языке к-пространства это означает, что в объеме зоны Бриллюэна, соответствующей кристаллической структуре, могут разместиться все продольные моды по одной на каждый атом и, кроме того, все поперечные моды из расчета по две моды на каждый атом.

Если мы отрежем часть кристалла, то объем зоны Бриллюэна не изменится, но точки в k-пространстве, соответствующие различным колебательным состояниям, раздвигаются.

Чтобы обосновать высказанное выше утверждение о том, что в трехмерном пространстве для N одинаковых атомов существует N продольных и 2N поперечных мод, рассмотрим простой кубический кристалл с боковыми ребрами длиной L,

так что N=(L/a)³. В этом случае зона Бриллюэна представляет собой куб с длиной ребра 2π/а и объемом (2π/а) ³. Поскольку, как это видно из рис. 4б, каждая разрешенная продольная мода занимает объем (2π/а) ³, во всей зоне помещается, как и ожидалось, N состояний.

Дисперсионные кривые для продольных и поперечных фононов в кристаллографических направлениях высокой симметрии могут дать информацию о наиболее важных атомных силовых постоянных.

Примеры этих кривых приведены на рис. 5.

Рис. 5.-Левый Общая плотность колебательных состояний в меди как функция частоты 𝜔. Кривая построена по результатам численного анализа разных ветвей экспериментальных дисперсионных кривых на рис. 4б. [Svensson Е. С. et al— Phys. Rev., 155, 619 (1967).]

Рис. 5-Правый. Общая плотность колебательных состояний в ванадии как функция частоты 𝜔. Кривая, построенная по результатам исследования некогерентного рассеяния нейтронов, заимствована из работы:

Дата добавления: 2014-01-15