Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Взаимное расположение двух прямых




Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями

, .

Точки и лежат соответственно на прямых и ; и - направляющие векторы этих прямых (рис. 15.2).

 
 

 

 

   
     
     
     
     
  рис. 15.2  

Прямые в пространстве могут скрещиваться если векторы не компланарны, пересекаться, быть параллельными или совпадать, если векторы компланарны.

- условие скрещивания прямых

 

2) - условие того, что прямые и лежат в одной плоскости.

Один из углов между прямыми и равен углу между векторами и .

1) Для того чтобы прямые и были параллельными и не совпадали , то есть чтобы координаты какой-нибудь точки одной прямой не удовлетворяли уравнени­ям другой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

- условие параллельности прямых.

2) чтобы прямые совпадали, необходимо, чтобы прямые и лежали в одной плоскости и векторы , и были параллельны.

- условие совпадения прямых.

3) Для того чтобы прямые пересекались, необходимо чтобы и лежали в одной плоскости и векторы и были не параллельны

- условие пересечения прямых.

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных в аффинной системе координат каноническими уравнениями:

.

Решение. По данным находим точки и направляющие векторы данных прямых

.

Из равенства следует, что прямые лежат в одной плоскости. Поскольку координаты векторов не пропорциональны, то они не коллинеарны. Вывод: прямые пересекаются.

15.4 Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями (15.3), а пло­скость P - общим уравнением. Если направляющий вектор (m,n,p) прямой l перпендикулярен нормальному вектору (А, В, С) плоскости P (рис. 15.3), т. е. если

Am + Вn + Сp = 0,

 
 

 

 

     
       
       
       
  рис. 15.3    

то возможны два случая располо­жения прямой lотносительно пло­скости Р.

Во-первых, прямая l мо­жет быть параллельна Р. Тогда ни одна точка прямой lне лежит на плоскости P, следовательно,

Во-вторых, прямая l может ле­жать на плоскости P, следовательно, . Тогда

- условия параллельности прямой l плоскости P

- условия принадлежности прямой l плоскости Р.

Эти условия являются и достаточными.

Если векторы и не взаимно перпендикулярны, то прямая l пересекает плоскость P. Следовательно,



- условие пересечения прямой и плоскости

Найдем угол между ними.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Обозначим через проекцию прямой l на P (рис. 15.3). Отложим вектор от точки пересечения прямой l с плоскостью. Тогда прямые l , и вектор N лежат в одной плоскости, и при этом выполняется равенство, . Следовательно,

(15.6)

Необходимым и достаточным условием пер­пендикулярности прямой l и плоскости Р является коллинеарность векторов и , откуда

Пример. Выяснить взаимное расположение прямой и плоскости, заданных в аффинной системе координат уравнениями:

.

Решение. По данным находим точку и направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости

.

Имеем

Вывод: прямая и плоскость параллельны.





Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 1050; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.80.230.230
Генерация страницы за: 0.092 сек.