Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала

Пусть поверхность задана ур-нием и , , непрерывны.

Опр. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке наз. плоскость, проходящая через точку и обладающая следующим свойством: расстояние от этой плоскости до переменной точки М поверхности S является бесконечно малой величиной при стремлении М к , т.е. .

Если функция дифференцируема в точке , то уравнение касательной плоскости имеет вид .

Пусть , тогда или . Если , , то – приращение аппликаты касательной плоскости, соответствующее ее и . Т.к. , то, с геометрической точки зрения, для приращений и есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности в точке для тех же приращений.

Опр. Прямая, проходящая через точку поверхности S перпендикулярно касательной плоскости в этой точке, наз. нормалью к поверхности.

Пусть поверхность S задана уравнением , точка , касательная плоскость имеет уравнение

. Тогда вектор. Слледовательно, нормаль имеет уравнение: .

ПР. , , . , , нормаль: .

Дата добавления: 2014-01-15