Нормальное распределение

,

так как .

.

Итак, для нормального распределения

, .

Вычислим эксцесс Е_k.

{учитывая вычисление дисперсии} .

Отсюда .

Итак, для нормального распределения

, , , .

Приложения нормального распределения

Пусть случайная величина x имеет нормальное распределение. Вычислим вероятность события { a < x < b }.

Из свойств функции распределения (стр.53) имеем:

.

Введя новую переменную , получаем

, где .

В частности

, (39)

(или , если ).

Так как на вероятность события не влияют неслучайные преобразования над случайной величиной, то, полагая а = 0, получим:

. (40)

Пример (правило трех s). Пусть случайная величина x, характеризующая ошибки измерений, подчинена нормальному закону. Найти вероятность того, что ошибки измерения x не превзойдут 3 s.

Решение. Ошибкой измерения называется отклонение реального результата от истиного. Ошибка измерения является случайной величиной, если она есть результат действия только случайных факторов (в отличие от систематических ошибок, которые изменяются по определенному закону или постоянны во всей серии испытаний).

Если ошибки измерения случайны, то они симметричны относительно нуля, поскольку в силу их случайности, разумно предположить, что ошибки, равные по величине и противоположные по знаку, должны встречаться одинаково часто.

С учетом сказанного, воспользуемся формулой (40). Имеем

Р {| x | < 3 s }= 1 - 2 Ф (-3) = 1 - 0,00135 = 0,9973.

Таблица 3

ns	s	2s	3s	4s
P {| x |< ns }	0,6826	0,9544	0,9973	0,9997
%	32%	5%	0,7%	0,07%

Важность «правила трех s» в том, что ошибки измерения для нормально распределенных величин, превышающих 3 s практически невозможны, менее 3 s существенны (см. табл. 3).

Дата добавления: 2014-01-15