Вектор Пойтинга. Теорема Умова - Пойтинга

Баланс энергии электромагнитного поля.

Вопрос о распространении энергии был исследован Умовым в 1874 г. Пойтинг применил теорию Умова для исследования электромагнитных волн. Носителем энергии электромагнитных волн является поле, в каждом единичном элементе объема которого заключена энергия , а для однородных изотропных сред .

Рассмотрим баланс энергии в некотором объеме V, ограниченном поверхностью S (рис. 5.3). Внутри объема находятся сторонние источники энергии и потребители. Величина γ обозначает безвозвратные потери электромагнитной энергии (свет, тепло, электрические машины). Предположим, что не зависят от времени. Вне объема V могут тоже существовать источники и потребители энергии. В общем случае энергия источника может быть не равна энергии, потребляемой внутри объема, следовательно, избыток мощности должен или входить, или выходить из объема.

В любой точке объема V и вне его справедливы уравнения Максвелла:

Умножим скалярно первое уравнение на , а второе на и вычтем из первого уравнения второе.

. (5.9)

Но и ; (5.10)

; ; (5.11)

. (5.12)

Подставив (5.10), (5.11), (5.12) в (5.9), получим

-.

Проинтегрировав последнее равенство по объему, и заменив левую часть по теореме Остроградского-Гаусса, получим

. (5.13)

Полученное равенство представляет собой баланс энергии электромагнитного поля. Векторное произведение определяет энергию электромагнитного поля, входящую в рассматриваемый объем или выходящую из него через площадь поверхности, которая ограничивает этот объем.

. (5.14)

Это векторное произведениеназывают вектором Пойтинга или вектором плотности потока энергии. Единица измерения вектора Пойтинга -.

Вектор Пойтинга численно равен энергии, проходящей в 1 сек сквозь поверхность, площадью 1 м², перпендикулярную к направлению вектора .

Направление вектора Пойтинга (рис. 5.4) совпадает с направлением движения острия правого винта, если его вращать по кратчайшему направлению от к .

Таким образом, левая часть равенства (5.13) представляет поток мощности электромагнитного поля. Первое слагаемое правой части определяет безвозвратные потери энергии, т.е. энергию, переходящую в тепло. Второе слагаемое определяет мощность (энергию за единицу времени) сторонних источников. Эта энергия может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, потребляет ли источник энергию, или отдает. Например, если аккумулятор заряжается, то энергия отрицательна, разряжается – положительна.

Третье слагаемое определяет изменение запаса энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. Причем энергия всегда положительна, а производная может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, убывает или возрастает энергия поля в данном объеме.

Если мощность источников превышает потребляемую мощность, то энергия поля выходит из объема, и левая часть равенства (5.13) будет иметь знак «+», в противном случае знак «-».

,

.

Теорема Умова – Пойтинга формулируется следующим образом:

избыток мощности, поглощаемой (отдаваемой) внутри объема, втекает в этот объем (вытекает из этого объема) в виде электромагнитной энергии через замкнутую поверхность, ограничивающую объем, причем плотность потока энергии через эту поверхность в любой точке определяется вектором Пойтинга .

Дата добавления: 2014-01-15