Окружность

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Алгебраической линией n-го порядка называется линия, определяемая алгебраическим уравнением n -й степени относительно декартовых координат x и y. В случае n =2 линия называется линией второго порядка.

Каноническим уравнением окружности радиуса R с центром в точке C (a,b) называется уравнение

(1)

Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение принимает вид

(2)

Если уравнение второй степени, не содержащее члена с произведением координат и имеющие равные коэффициенты при и , т.е уравнение

(3)

определяет некоторую линию на плоскости, то этой линией является окружность.

Чтобы исследовать, какое геометрическое место точек определяется уравнением (3), необходимо разделить обе части его на , выделить полные квадраты, после чего оно примет вид (1) или

(4)

или

(5)

Замечание. Уравнение (4) удовлетворяют координаты единственной точки ; уравнению (5) не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

Пример 1. Найти координаты центр и радиус окружности, определяемой уравнением .

Разделив обе части уравнения на 2, получим

Выделяя полные квадраты, находим

или

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), заключаем, что

Пример 2. Найти уравнение окружности, проходящей через точки М ₁(2,1), М ₂(1,2), М ₃(0,1).

Решение. Из аналитической геометрии известно, что любая окружность может быть задана уравнением вида

x ² + y ² + ax + by + c = 0. (1)

Постараемся подобрать величины a, b, c так, чтобы окружность (1) проходила через точки М ₁, М ₂, М ₃. Для этого нужно, чтобы координаты каждой из данных точек удовлетворяли уравнению (1):

2² + 1² + а ^.2 + b ^. 1 + c = 0 (для М ₁),

1² + 2² + а ^.1 + b ^. 2 + c = 0 (для М ₂),

0² + 1² + a ^.0 + b ^. 1 + c = 0 (для М ₃).

Таким образом, неизвестные a, b, c должны удовлетворять системе уравнений:

Решая эту систему, находим: a = – 2, b = – 2, c = 1. Итак, уравнение искомой окружности:

x ² + y ² – 2 x –2 y + 1 = 0,

или

(x – 1)² + (y –1)² = 1.

(центр окружности есть точка с координатами (1,1), радиус равен 1).

Ответ: x ² + y ² – 2 x – 2 y + 1 = 0.

Дата добавления: 2014-01-15