Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Говорят, что функция , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке :

1. найти ;

2. найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

3. вычислить значения функции в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке , которые можно обозначить так: .

Если поставлена задача найти для непрерывной на функции , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка .

Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:

1. если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка максимума, то - наибольшее значение функции на промежутке Х;

2. если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка минимума, то - наименьшее значение функции на промежутке Х.

Дата добавления: 2014-01-15