Загальні поняття про перехідні процеси у електричних колах та методи їх аналізу

МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

Деменков М.В. Теорія кіл та сигналів ч.2 ЖВІРе,1999р с 5-49

Загальні поняття про перехідні процеси в електричних колах та методи їх аналізу. Початкові умови.

2. Закони комутації. Початкові значення.

3. Складання та рішення диференційних рівнянь лінійних електричних кіл.

4. Вільні напруги та струми в колах першого порядку.

ЛІТЕРАТУРА

Л3. Деменков М.В. Теорія кіл та сигналів ч.2 ЖВІРе,1999р с 5-49

Час: 2 години

ЛІТЕРАТУРА

1. ЛЕКТОР 2000, слайди.

2. Установка для демонстрації перехідних процесів в колах RC та RL.

Навчальна мета: вивчити методику аналізу ПП в нерозгалужених колах першого порядку, встановити вплив параметрів кола на тривалість перехідних процесів.

Виховна мета: показати, що знання аналізу ПП офіцеру більш ефективно та якісно працювати з технікою; добитися розуміння важливості вивчаємого курсу; розвивати почуття відповідальності курсантів за захист Батьківщини при вивченні дисципліни в інституті.

У ХІХ сторіччі бурхливе впровадження електрики в промисловість трохи гальмувалась небезпечними явищами, обумовленими перехідними процесами, які спричинялись частими аваріями. Розвиток телеграфа, винайденого у 1831 році російським вченим Шиллінгом П.Л. та Якобі В.С., також затримувався невмінням подолати небажані явища, спричинені перехідними процесами (ПП).

Можливості врахування ПП були обмежені нерозумінням їх фізичної суті та відсутності приладів для їх експериментального дослідження.

Якщо для теоретичного вивчення ПП до того часу був розроблений відповідний математичний аппарат (теорія лінійних ДУ, операційне числення), то для його експериментального дослідження (спостереження) тільки в 1907 році російський вчений Мандельштам Л.І. запропонував використання ЕЛТ з двома парами відхиляючих пластин. Наявність такого апарату та приладів дозволяють вивчати ПП та враховувати їх при проектуванні та коструюванні різних пристроїв.

Перехідний процес при переході ЕК від одного сталого режиму до другого може бути як нормальним режимом кола, так і небажаним явищем.

Комутацією називають підключення (відключення) кола до джерела енергії, зміна напруги на вході кола, скачкоподібна зміна схеми кола чи параметрів його елементів (R, L, C).

На схемах кіл комутацію позначають в вигляді ключа зі стрілкою (Рис.1).

Вважають, що комутація здійснюється миттєво.

підключення відключення переключення

Перехідні процеси в ЕК, що не включають енергоємких елементів (L, C) можна вважати відсутніми, тому, що новий сталий режим у них виникає під час комутації.

В ЕК з енергоємкими елементами перехідні процеси продовжуються деякий час тому, що енергія електричних полів конденсаторів і магнітних полів котушок індуктивностівнаслідок дії закону безперервності енергії в часі не можуть змінюватись скачком.

а) підключення б) відключення в) переключення

Рис. 1

Рис. 2

Т.ч. причиною ПП є неможливість скачкоподібної зміни електричної енергії при переході від одного сталого режиму до іншого.

Вказані ПП тривають довго, але на практиці їх вважають практично закінченими за період (3…5t_Ц) Рис.2.

Момент комутації приймають за початок відліку часу, тобто вважають, що в момент комутації t=0. Моменти, що передують безпосередньо комутації позначають –0, а які ідуть за моментом комутації +0.

Рис. 1а

З осцилограми бачимо, що у інтервалі часу 0…t₁=5t_Ц напруга на конденсаторі для ЕК рис. 1а змінюється за деяким законом від 0 до величини, близької до U₀.

Як же установити закон зміни напруги в перехідному режимі?

У загальному випадку для кола n-порядку для опису перехідних процесів можна використовувати диференціальні рівняння, що представлені у вигляді:

. (1)

де х(t) – шукана (вихідна) величина – відгук кола (U, I);

s(t) - вхідне діяння;

а_і(t), в_j(t) – коефіцієнти, які визначаються схемою кола та параметрами його елементів.

x⁽ⁱ⁾(t), s^(j)(t) – i-та та j- похідні відповідно реакції кола та діяння.

Порядок ЕК визначається кількістю реактивинх елементів, включених в ЕК.

Якщо електричне коло лінійне та має сталі зосереджені параметри, то процеси в ньому описуються НЛДР (неоднорідні лінійні диференційні рівняння) з постіними коефіцієнтами.

Неоднорідне ЛДР (НЛДР) для кола n-го порядку має вигляд:

(2)

де а_n, в_m - коефіцієнти, які залежать від конфігурації кола та його параметрів.

ЛДР бувають однорідними (права частина = 0) та неоднорідними (права частина = 0).

Відомо, що НЛДР має слідуючий вигляд загального рішення:

x(t) = x₁(t) + x₂(t)

де x₁(t) - загальне рішення ОЛДР (права частина =0, тобто зовнішнє діяння (джерела w) = 0). Процес, який описується цією складовою, називається вільним процесом, а x₁(t) складова – вільною складовою – x_віл(t).

Вільні процеси виникають за рахунок запасу енергії реактивних елементів після відключення Е. Таким чином, вільні процеси в лінійних колах можна описати ЛОДР.

Характер вільних процесів (закон змінення загального рішення ЛОДР x_віл(t)), визначається елементами кола та схемою.

x₂(t) – часткове рішення НАДР, яке визначається тільки видом вхідного діяння та називається примусовою складовою, що вказує на її повну залежність від діяння величини – x_пр(t).

Отже, x(t) = x_віл(t) + x_пр(t) (*)

Метод розрахунку перехідних процесів в лінійних електричних колах, оснований на представленні загального рішення ДР у вигляді (*), називається класичним методом аналізу електричних кіл у часовій області, тому що x_віл(t) та x_пр(t) є функціями часу.

В реальних колах вільні процеси затухають:

lim x_віл (t) = 0Þlim x (t) = lim (x_віл(t)+ x_пр(t)) = x_пр(t) = x_уст(t),

x_уст(t) – установлене значення примусової складової.

Таким чином x_пр(t) = x_уст(t).

Це дозволяє у випадках, коли діяння є постійним чи гармонічним, визначити x_пр(t) методами розрахунку кіл у сталому режимі.

Загальне рішення однорідного ЛДР при постійних дійсних коефіцієнтах а_к=const та при а_к = 0 зводиться до знаходження коренів характеристичного многочлена:

x(p) = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + …+ a₁p + a₀ = 0,

який можна одержати з ЛОДР шляхом заміни x(t) на одиницю, а її похідних - на p^l, де l – порядок похідної.

Корені р_к можуть бути дійсними, простими (чи різними) та кратними (чи однаковими).

Якщо корені р_1, р_2, ..., р_n прості, то ЛОРД має загальне рішення:

де n – порядок ДР; А_К- постійна інтегрування.

Таким чином, загальне рішення НЛДР буде мати вигляд:

Необхідно помітити, що у загальному випадку при будь-якому діянні (джерела) часткове рішення може визначатися різними способами (методом варіації будь-якої постійної, діленням змінних, методом ламаних Ейлера, операційним методом)

Враховуючи те, що кожне ДР має нескінченну множину рішень, то для виділення з цієї множини одного рішення задають початкові умови:

Знаючи початкові умови, визначають постійні інтегрування з загального рішення ДР.

В ОТКС початкові умови визначають з аналізу схеми, опираючись на закони комутації, які розглянемо наступним питанням.

Висновок: основою класичного методу аналізу електричних кіл є складання диференційного рівняння, виходячи з його схеми та знаходження рішення в вигляді вільної та примусової складових.

2. Закони комутації. Початкові умови та початкові значення.

Початковими умовами (ПУ) називають значення струмів у гілках з L та напруг на С до комутації, тобто в момент часу t=-0. Якщо до комутації запас енергії в усіх накопичувальних елементах (L, С) кола дорівнює нулю, то ПУ називаються нульовими, інакше – ненульовими, ПУ позначаються:

i_Lі (-0) та U_Cк (-0)

Початковими значеннями (ПЗ) називаються значення усіх струмів, напруг та (n-1) їх похідних після комутації, тобто при t=+0.

ПЗ поділяють на залежні та незалежні.

Незалежними є значення i_Lі (+0) та U_Cк (+0) та (n-1) їх похідні, а залежними – значення усіх інших величин при t=+0 та (n-1) їх похідних.

Якщо з аналізу схеми кола визначені ПУ, то для визначення ПЗ користуються законами комутації, які встановлюють безперервність струму в індуктивності та напруги на ємності навколо моменту комутації (рис.3)

Рис. 3

Як було з’ясовано раніше, причиною наявності перехідних процесів в ЕК накопичувальними елементами (L та C) є неможливість скачкоподібної зміни енергії, накопиченої в магнітному та електричному полях на цих елементах.

Плавність її зміни витікає з принципу безперервності в часі і диференцируємості потокосцеплення індуктивності y(t) і електричного заряду ємності q(t).

Припустимо, що потокосцеплення індуктивності y(t) змінюється в часі скачкоподібно. Тоді відповідно до закону Ленца е.р.с., визначаєма за формулою

і напруга на індуктивності були б нескінченно великими (= ¥), що не має фізичного змісту, тому що напруга на ділянці кола є кінцевою. Звідки слідує, що y(+0)=y(-0), а оскільки y(t)=Li_L­(t), то при L=const струм, що протікає через індуктивність не може змінюватись скачком.

На основі цього сформулюємо І закон комутації:

Величина струму в індуктивності безпосередньо після комутації дорівнює величині струму в індуктивності до комутації та в подальшому змінюється від цього значення:

і_L(+0) = і_L(-0)

Для деякого кола, що складається з послідовного включення опору та індуктивності:

Рис. 4

Аналогічно до доказу І закону доводиться ІІ закон комутації.

Неможливість скачкоподібної зміни електричного заряду на ємності витікає з того, що в протилежному випадку через ємність протікав би нескінченно великий струм:

,

що також не має фізичного змісту.

Звідси витікає, що q(+0)=q(-0). В зв’ язку з тим, що q(t)=CU_C­(t), то при C=const напруга на ємності не може змінюватись скачком.

Таким чином отримаємо ІІ закон комутації:

Напруга на ємності безпосередньо після комутації дорівнює напрузі на ємності до комутації і в подальшому змінюється від цього значення:

U_С(+0) = U_С (-0)

Для кола з послідовним з’єднанням опору та ємності:

Рис. 5

Таким чином, на накопичувальних елементах кола (L, С) величини, які визначають запас енергії W не можуть змінюватись скачком, а величини, які не визначають запас W, можуть змінюватись скачком.

Отже, визначивши з аналізу схеми в докомутаційному режимі ПУ, можна отримати ПЗ (і_L(+0), U_С(+0) та (n-1) їх похідні, використовуючи закони комутації.

Аналізуючи схему заміщення при t=+0 (післякомутаційний режим) та ивкористовуючи закони Ома та Кірхгофа, визначають залежні початкові значення. Після цього визначається примусова складова.

Таким чином для аналізу ПП у лінійних електричних колах необхідно:

1. На основі законів Кірхгофа, чи витікаючих з них методів розрахунку кіл, скласти ДР.

2. Записати загальне рішення ДР у вигляді

3. Визначити примусову складову методами розрахунку кіл у сталому режимі.

4. Скласти характеристичне рівняння та визначити його корені.

5. Записати ПУ.

6. Скласти систему рівнянь для визначення постійної інтегрування А_К.

7. Підставити отриманні значення А_К, р_К, х_пр (t) у загальне рішення та отримати величину вихідного діяння х(t).

ВИСНОВОК: Аналіз та розрахунок ПП у електричних колах класичним методом зводиться до рішення двох задач:

1. Електрична (аналіз заданого кола);

2. Математична (складання та рішення ДР).

Розглянемо приклад складання та рішення ДР.

Дата добавления: 2014-01-15