КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Теорема про структуру загального розв’язку диференціальні рівняння другого порядку
2 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами (І випадок). 3 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами (ІІ випадок і зауваження). Структура загального розвязку лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку (1) де - неперервні функції. Разом з цим рівнянням розглянемо рівняння (2) яке є однорідним рівнянням неоднорідного рівняння (1). Теорема Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1) складається із суми двох розв’язків (3) де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння(2): ,- який-небудь частковий розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (1).(Без доведення) Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами: (4) де , f(x) - неперервна функція. Рівняння (4) являє собою математичну модель вимушених коливань. Загальний розв’язок (4) складається із суми двох розв’язків: отриманий із диференціального рівняння і - частковий розв’язок диференціального рівняння (4). Займемая методами знаходження . Виявляється, що якщо права частина рівняння (4) має спеціальний вигляд, то початковий розв’язок можна також знайти алгебраїчним шляхом без інтеграла, методом невизначених коефіцієнтів. І випадок. тобто , (4/) де -многочлен n -ої степені. , m - дійсне або комплексне число. Диференціальне рівняння (4/) описує вимушені коливання, а число m характеризує частоту вимушених коливань. При знаходженні часткового розв’язку диференціальне рівняння (4/) можуть представитися такі три випадки:
а) нехай число m не є коренем характеристичного рівняння, тобто Частота власних коливань не співпадає з частотою вимушених коливань. Тоді частковий розв’язок (4/) шукають в такому ж вигляді як права частина
(5), де - -многочлен з невизначеними коефіцієнтами. Підставимо розв’язок (5) в диференціальне рівняння (4/). , . Використавши і скоротив на , отримаємо .Оскільки m - не є коренем характеристичного рівняння,то в (6) зліва стоїть многочлен n -ої степені з невідомими коефіцієнтами, а справа з відомими коефіцієнтами. Якщо (5) є розв’язком диференціального рівняння (4/), то (6) –тотожність. Порівнюючи коефіцієнти зліва і справа при однакових степенях х отримаємо систему (n+1) рівняння з (n+1) невідомим В0,В1,....Вn.Знайдені коефіцієнти підставляємо в (5) і отримуємо шуканий розв’язок. б) нехай число m - корінь характеристичного рівняння (співпадає з одним із коренів) , Отже частота власних коливань співпадає з частотою вимушених коливань, маємо резонанс. Якщо шукати розв’язок у вигляді (5), то в (6) зліва буде стояти многочлен степені.Щоб зліва в (6) стояв многочлен n -ої степені, треба збільшити степінь многочлена на одиницю, тобто помножити на (7) в) Нехай число m- є двухкратним коренем характеристичного рівняння
, подвійний резонанс. Якщо шукати розв’язок у вигляді (5), то в (6) зліва буде стояти многочлен n -2-степені, тому розв’язок буде мати вигляд (8) Приклад 1.
Розв’язання. Загальний розв’язок (за теоремою 5), y//-y=0.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 6383; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |