ІІ випадок

Складаємо характеристичне рівняння

; ;

оскільки -резонанс.

-1

0

1

Тоді

Знайдемо тепер і із заданих початкових умов

(9)

Теорема В (про суперпозиції розв’язків)

Якщо права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння уявляє собою суму двох функцій, тобто

(10)

і

частковий розв'язок диференціального рівняння (10)дорівнює

Другий випадок взагалі нічим не відрізняється від першого, якщо праву частину диференціального рівняння (9) перетворити за формулами йлера і скористатись теоремою В.

Дійсно,

Тоді (13)

Зробимо аналіз (13)

а) якщо число то частковий розв'язок

(14)

(не має резонансу)

б) , тобто є резонанс, тоді

(15)

де , - многочлени n -ої степені з невизначеними коефіцієнтами, котрі знаходяться методом невизначених коефіцієнтів.

Зауваження 1. Якщо права частина диференціального рівняння (9) є тільки єдиним доданком то частковий розв'язок теж відшукується в вигляді (14) і ().

Зауваження 2. Якщо а саме

де,- визначені числа,то

1) (14^/)

2) (15^/)

Зауваження 3. Розгляне на теорія розповсюджується і на лінійні неоднорідні диференціального рівняння з сталими коефіцієнтами n -го порядку.

Приклад 2. Знайти загальний розв'язок

Розв’язання

1)

5

2 - резонансу немає

1

B=1

Тоді

Дата добавления: 2014-01-11