Алгебраические критерии устойчивости

Условие устойчивого состояния

Если представить характеристическое уравнение в форме Безу

a_n(p-p₁)… (p-p_n)=0

И раскрыть скобки, то в случае когда все p_i будут иметь отрицательные действительные части или быть отрицательными, то все коэффициенты a_i характеристического уравнения будут положительными.

(p-α_i-jβ_i)(p-α_i+jβ_i)-для пары комплексно сопряженных корней

(p-α_i-jβ_i)(p-α_i+jβ_i)=p²-pα_i-jpβ_i+α²_i-α_ip+ jpβ_i-jβ_iα_i+β²_i=p²-2pα_i+α²_i+β²_i

Если α – отрицательны, то все слагаемые положительные.

Т.е. чтобы все корни были мнимыми необходимо, чтобы коэффициенты характеристического уравнения (левой части дифференциального уравнения) были положительными.

Для дифференциального уравнения 2- го порядка включительно это условие является достаточным.

В связи со сложностью определения корней для уравнений второго порядка оценку устойчивости можно проводить по критериям Раиса, Гурвица и т.д. Смысл заключается в том, что знаки корней оценивают путем оперирования с коэффициентами уравнения. В частности, для метода Гурвица записывают матрицу Гурвица: на диагонали откладывают коэффициенты левой части дифференциального уравнения начиная со второго порядка, т.е.

для каждого столбца вниз дополняют элементы с возрастающим номером, вверх – с убывающим, если номера не существуют дополняют нулями.

Для дифференциальных уравнений 3-го порядка:

Для матрицы Гурвица определяют знаки всех главных определителей.

Если они одинаковы (обычно положительные), то можно умножить левую и правую части на -1, корни будут левыми a₂>0

Дата добавления: 2014-01-15