Вопросы для проверки знаний

Понятие вероятности

Пусть некоторая величина a принимает случайно n значений (например, от 1 до n) и общее число рассмотренных значений величины а (объем выборки) равно N. Обозначим количества значений величины a в выборке, равных 1, 2, …, n, соответственно, через k₁, k₂, …, k_n. При этом k₁+k₂+ …+k_n=N.

Вероятностью р_i (i=1, …, n), имеющей смысл степени повторяемости значения i в общей выборке, называют отношение р_i=k_i/N.

Для полного набора вероятностей {p₁, p₂,…, p_n} справедливо условие нормирования: р₁+р₂+ …+р_n=1.

Если все значения величины a имеют одинаковые объемы в общей выборке (k₁=k₂= …=k_n), а, соответственно, и одинаковые вероятности р₁=р₂= …=р_n=1/n, то данные значения называют равновероятными.

1. В чем заключается задача комбинаторики?

2. Какие характеристики комбинаторных задач являются основными при подсчете числа вариантов в них?

3. Назовите основные правила, применяемые при подсчете числа комбинаторных множеств и объясните их смысл.

4. Можно ли применять правило умножения при расчете числа L всех возможных различных наборов вида {а₁, а₂}, у которых 1£а₁£6, 1£а₂£6, а₁+а₂=10?

5. В чем отличие размещений от перестановок?

6. Докажите справедливость условия нормирования для полного набора вероятностей.

Практические задания

1. Найти общее число различных двоичных записей (с использованием 0 и 1) длины 10, у которых: 1) в старшем (крайнем слева) разряде нет незначащего нуля, 2) нет ограничений на форму записи. Ответ дать в виде формул.

2. Сколькими способами можно разместить 5 шаров в 8 различных лунках при условии, что: 1) все шары одинаковы, 2) все шары различны?

3. Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?

4. Найти максимальное число участников лотереи n, при котором общее число вариантов распределения среди них 2 одинаковых призов (не более одного одному участнику) не превышает 45.

5. Найти минимальное число мест n, при котором число вариантов расположения на них (n – 2) различных одинаковых объектов будет превышать 100.

6. Сколько различных слов (в том числе – не имеющих смысла) можно получить путем всех возможных перестановок букв в слове “комбинаторика”? Ответ дать в виде формулы.

7. Множество содержит 3 одинаковых объекта и 2 различных. Сколько существует всех возможных вариантов расположения эле­ментов данного множества на 6 местах?

8. В спортивном состязании присуждается одно первое место, одно второе и два третьих, остальные спортсмены получают одинаковые дипломы участников. Найти общее число вариантов ранжирования призеров при 8 участниках.

9. Найти общее число различных вариантов расположения 2 белых и 3 черных шаров на 7 местах в двух случаях: 1) все места для размещения одинаковы, неотличимы друг от друга, 2) все места различны.

10. Алгоритм обрабатывает пары множеств (порядок в паре не имеет значения) из набора, содержащего 3 одинаковых и 5 попарно различных множеств. Найти общее количество различных способов выбора пар множеств.

Дата добавления: 2014-01-20