Переводы правильных дробей и смешанных чисел

Вопросы для проверки знаний.

1. В чем основное назначение шестнадцатеричной системы счисления?

2. Почему в шестнадцатеричной системе счисления наряду с цифрами для обозначения значений в разрядах используют буквы?

3. Почему при прямом переводе целых двоичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления необходимо заменять, начиная с крайнего левого разряда, по четыре стоящих подряд цифры?

Практические задания.

1. Перевести в десятичную систему число 101010101₂.

2. Перевести в двоичную систему число 72₁₀.

3. Перевести в десятичную систему число 5D2₁₆.

4. Перевести в десятичную систему число 75030₈.

5. Перевести в шестнадцатеричную систему число 58012₁₀.

6. Перевести в восьмеричную систему число 3809₁₀.

7. Перевести в систему с основанием 4 число 1378₁₀.

8. Перевести в двоичную систему число 5304₈.

9. Перевести в двоичную систему число АВС₁₆.

10. Перевести в двоичную систему число 203103₄.

11. Перевести в четверичную систему число 1010101111₂.

12. Перевести в восьмеричную систему число 11101010100₂.

13. Перевести в шестнадцатеричную систему 10010001011₂.

14. Перевести число 75230₈ в шестнадцатеричную систему.

15. Перевести в восьмеричную систему число 13213₄.

16. Перевести в систему с основанием 4 число 25403₈.

Правильная дробь имеет нулевую целую часть. Результат перевода правильной дроби ‑ всегда правильная дробь. Обыкновенной дробью называется ее представление в виде отношения m / n, где m (числитель) и n (знаменатель) ‑ натуральные числа. Числитель также может быть равен нулю.

В позиционной системе счисления с основанием p правильная дробь имеет вид записи 0,a_–1a_–2 …a_{– s}, представляющей разложение числа по отрицательным (–1, –2, …)степеням p. Все величины, стоя­щие в разрядах дроби в системе с основанием p, как и у целых чи­сел, могут принимать значения от 0 до p –1.

Запись А_p =0,a_–1a_–2 …a_{– s} означает А_p =a_–1 p ^–1+a_–2 p ^–2+…+a_{– s}p ^{– s}.

Например, 0,47₁₀=4×10^–1+7×10^–2.

Дроби, задающие рациональные числа, могут быть конечными и бесконечными (периодическими). У конечной дроби запись обрывается, например 0,247₈. Бесконечная дробь помимо постоянной части, называемой предпериодом, имеет периодическую (период), которая теоретически повторяется в записи бесконечное число раз. На практике вместо бесконечного повторения период такой дроби указывают в скобках. Например, бесконечная шестнадцатеричная дробь 0,В7С(2А)₁₆ имеет постоянную часть В7С и периодическую 2А. Значение дроби можно представить бесконечной записью вида 0,В7С2А2А2А2А2А…₁₆.

В десятичной системе дроби разлагаются по степеням числа (1/10), а в системах с основаниями вида 2 ^s по степеням чисел (1/2 ^s). Коэффициенты нового разложения находят, последовательно умножая исходную дробь на соответствующее постоянное число и отделяя целую часть. Если процесс обрывается, то получаемая дробь – конечная, если продолжается, то вычисления производят до тех пор, пока не будет получена искомая точность (число знаков после запятой) либо не найден период дроби.

2.2.1. Перевод правильных десятичных дробей в систему с основанием p =2 ^s

Последовательно умножаем исходную дробь на 2 ^s. После каждого умножения целую часть произведения отделяем и заносим в запись числа, а оставшуюся дробную часть снова умножаем. Незначащие нули справа в дробной части отбрасываем. Процесс продолжаем до тех пор, пока:

- в дробной части будет получен 0, следовательно, получена конечная дробь либо

- определится период в бесконечной периодической дроби (также определен точный вид дроби) либо

- будет получено приближенное значение с заданным числом знаков дробной части (для чего надо найти в дроби на один знак больше и выполнить его округление).

Если число знаков искомой дроби не оговаривается, то в задаче имеется в виду поиск ее точного выражения ‑ конечного или в периодическом виде. При округлении последнего знака дроби в системе с основанием р предыдущий разряд увеличивается на 1, осли округляемый знак не меньше, чем р /2, иначе - остакется без изменения.

Пример 1. Перевести в двоичную систему дробь 0,75₁₀.

Решение. 0,75 0,5

´ 2 ´ 2

1,50 1,0.

В дробной части получен 0, искомая двоичная дробь конечная. Ответ: 0,75₁₀=0,11₂.

Пример 2. Перевести в двоичную систему дробь 0,8₁₀.

Решение. 0,8 0,6 0,2 0,4

´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2

1,6 1,2 0,4 0,8.

Процесс остановлен, так как найден полный период бесконеч­ной дроби (значение 0,8 получено вновь). Следовательно, искомая двоичная дробь бесконечная (периодическая). Постоянная часть дроби отсутствует, период равен 1100.

Ответ: 0,8₁₀=0,(1100)₂.

Пример 3. Перевести в шестнадцатеричную систему дробь 0,22265625₁₀.

Решение. 0,22265625 0,5625

´ 16 ´ 16

3,56250000 9,0000.

В дробной части получен 0, следовательно, искомая шестнад­цатеричная дробь ‑ конечная.

Ответ: 0, 22265625₁₀ = 0,39₁₆.

Пример 4. Перевести в восьмеричную систему дробь 0,65₁₀. Найти полное выражение.

Решение. 0,65 0,2 0,6 0,8 0,4 0,2

´ 8 ´ 8 ´ 8 ´ 8 ´ 8

5,20 1,6 4,8 6,4 3,2

Дробь 0,2 получена повторно, поэтому процесс деления остановлен, так как найден полный период бесконечной дроби ‑ (1463). Предпериод дроби равен 5.

Ответ: 0,65₁₀ = 0,5(1463)₈.

Пример 5. Перевести в систему с основанием 4 дробь 0,035₁₀. Результат определить с точностью до 5 знаков после запятой.

Решение. 0,035 0,14 0,56 0,24 0,96 0,84

´ 4 ´ 4 ´ 4 ´ 4 ´ 4 ´ 4

0,140 0,56 2,24 0,96 3,84 3,36

Вначале определяем 6 знаков (5+1), затем округляем последний знак, учитывая, что в системе с основанием 4 выполняется 3³4/2=2.

Ответ: 0,035₁₀»0,002033₄»0,00210₄.

2.2.2. Перевод правильных дробей из системы основанием р =2 ^s в десятичную систему

Единица разряда с номером (– k) у дроби в системе с основа­нием р= 2 ^s в десятичной системе равна десятичному числу (2)^{- k s} =(0,5) ^{k s}. Поэтому перевод дроби, имеющей запись А_p= 0,a_–1...a_{– k} в системе с р= 2 ^s в десятичную систему производят по формуле: А ₁₀=a_–1(0,5) ^s +...+ a_{– k} (0,5) ^{k s}.

Пример 6. Перевести в десятичную систему восьмеричную дробь 0,26₈.

Решение. С учетом 8=2³, s =3 получим: А ₁₀=2×(0,5)³+6×(0,5)⁶= =2×0,125+6×0,015625=0,25+0,09375=0,34375₁₀.

Ответ: 0,26₈=0,34375₁₀.

2.2.3. Перевод правильных дробей из системы с основанием р= 2^s в двоичную

Все величины, стоящие в разрядах дроби, заменяют их двоичными записями длины s. Незначащие нули справа в двоичном представлении можно убрать.

Пример 7. Перевести в двоичную систему правильную конечную дробь, представленную в восьмеричной системе: 0,3076₈.

Решение. 8=2³, то s =3. Представляя по очереди цифры дроби их двоичными записями длины s =3, получим: 3₈=011₂, 0₈=000₂, 7₈=111₂, 6₈=110₂. Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль справа, получим искомый ответ: 0,3076₈=0,01100011111₂.

Пример 8. Перевести в двоичную систему правильную периодическую дробь, представленную в шестнадцатеричной системе: 0,В58(А)₁₆.

Решение. 16=2⁴, то s =4. Представляя по очереди цифры предпериода и периода дроби их двоичными записями длины s = 4, получим: В₁₆=1011₂, 5₁₆=0101₂, 8₁₆=1000₂, (А₁₆)=(1010)₂.

Соединяя полученные двоичные записи, с учетом разложения периода в двоичной системе на две одинаковые части, получим искомый ответ:

0,В58(А)₁₆=0, 101101011000(10)₂.

2.2.4. Перевод правильных дробей из двоичной системы в систему основанием р= 2 ^s

Начиная со старших разрядов двоичной записи (после запятой), все цифры дроби группируются по s и заменяются цифрами в системе с р= 2 ^s. Если исходная двоичная дробь является конечной и в последней группе меньше, чем s знаков, ее справа дополняют незначащими нулями до s цифр. Если исходная двоичная дробь яв­ляется периодической, ее период повторяется до тех пор, пока не определится период в новой системе.

Пример 9. Перевести в четверичную систему правильную конечную двоичную дробь 0,110110011₂.

Решение. 4=2², поэтому s =2. Разбивая дробную часть слева направо по два знака и дополняя в последней группе единицу справа незначащим нулем, переводим полученные в группах двузначные двоичные числа в четверичную систему: 11₂=3₄, 01₂=1₄, 10₂=2₄, 01₂=1₄, 10₂=2₄.

Записывая слитно полученные цифры дроби, получим ответ:

0,110110011₂ = 0,31212₄.

Пример 10. Перевсти в шестнадцатеричную систему правильную периодическую двоичную дробь 0,110110(011)₂.

Решение. 16=2⁴, то s =4. Разбиваем дробную часть слева ‑ направо на группы по 4 знака и переводим двоичные числа в шестнадцатеричную систему. Начиная со второй группы, в них входят цифры из периодов. Их выделим курсивом, начало и конец каждого периода дополнительно показаны скобками. Разбиение на группы и перевод чисел продолжаем до тех пор, пока не получим период в шестнадцатеричной системе, который начинается с группы цифр, образованных периодом двоичного чис­ла:1101₂=D₁₆; 10(01 ₂=9₁₆; 1)(011)₂=В₁₆; (011)(0 ₂=6₁₆; 11)(01 ₂=D₁₆; 1)(011)₂=В₁₆.

Период шестнадцатеричной дроби равен (В6D) Записывая слитно полученные цифры основной части дроби и периодическую часть, получим ответ:

0,110110(011)₂=0,D9(В6D)₁₆.

2.2.5. Перевод правильных дробей из системы с основанием р= 2 ^s в систему с другим

Дата добавления: 2014-01-20