Качество уравнения регрессии. Коэффициент детерминации

Цель регрессионного анализа состоит в объяснении поведения зависимой переменной. Пусть для этого по выборочным данным построено уравнение регрессии. Тогда значение у в каждом наблюдении можно разложить на две составляющие , где е – остаток, т.е. та часть, которую невозможно объяснить. Разброс значений зависимой переменной характеризуется выборочной дисперсией

D(y) = D () = D () + D (e) + 2cov (, e).

Cov (, e) = cov (

D(y) = D() + D(e)

общая дисперсия факторная дисперсия, остаточная дисперсия,

объясненная уравнением необъясненная

Коэффициентом детерминации R² называют отношение ,

характеризующее долю вариации зависимой переменной, объясненную уравнением регрессии, .

Если R² = 1, то D(y) = D(), D(e) = 0, т.е. все точки наблюдений лежат на регрессионной прямой.

Если R² = 0, то регрессия не дает ничего, линия регрессии параллельна оси Ох.

Чем ближе R² к 1, тем более точно аппроксимирует у.

Вычисление R² корректно, если включено в уравнение. Полезны следующие соотношения:

; ; .

Для определения статистической значимости R² проверяется гипотеза

Н₀: R² = 0 с помощью статистики F = .

Если F < F_кр(, то Н₀ нет оснований отвергать или R² статистически не значим, в противном случае – значим. В случае парной регрессии R² = r ². Коэффициент корреляции r выступает показателем тесноты линейной зависимости, тесная нелинейная связь возможна и при r, близких к нулю.

Для нашего примера:

, R² = 0,982.

Следовательно, уравнение регрессии описывает 98,2% дисперсии признака у. Это означает очень тесную зависимость.

Можно показать, что в парном регрессионном анализе эквивалентны t-критерий для Н₀: b = 0, t-критерий для Н₀: r = 0 и F-критерий для Н₀: R² = 0. Таким образом, проверка значимости коэффициента b равносильна проверке значимости уравнения регрессии

, , F = и t_b = t_r = .

Дата добавления: 2014-01-20