Критерии согласия

Вычисление теоретического ряда частот распределения Пуассона

Если известно, что случайная величина распределена по закону Пуассона и задано выражение этого закона, то возможным становится вычисление теоретических частот по формуле ,

Значение функции Пуассона находят по таблице

		241,7
	0,3432	343,2
	0,2437	243,7
	0,1154	115,4
	0,0409	40,9
	0,0116	11,6
	0,0028	2,8
	0,9993

В предшествующих примерах закон распределения считался известным или существовали довольно веские основания для предположения о форме закона распределения по данному эмпирическому материалу. Сравнение фактических и вычисленных теоретических частот указывает на их близость, но полной сходимости нет. Между и есть определенные, иногда довольно значительные расхождения. Отклонение фактических частот от теоретических можно объяснить с помощью двух утверждений:

1. Эмпирические и теоретические частоты не противоречат одна одной, а расхождения между ними необходимо считать случайными, поскольку выбор элементов исследование проводили случайным способом. Сделанное предположение о распределении признака по теоретическому закону следует признать верным.

2. Расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами объяснить случайностью невозможно. Распределение признака по выбранному теоретическому закону необходимо признать ошибочным. Следует тщательнее изучить вариационный ряд и попробовать подобрать новый закон, который точнее учитывал бы особенности эмпирического материала.

Для выбора между этими двумя выводами применяют критерии согласия.

Критерием согласия называют правило проверки гипотезы о предположенном законе неизвестного распределения.

Критерий согласия Пирсона

Пусть в результате наблюдений за случайной величиной получено ее распределение в виде вариационного ряда, характеризуемого частотами .

Их сумма – это объем совокупности . Пусть эмпирическим частотам соответствуют теоретические , сумма которых тоже равняется .

В качестве меры расхождения теоретического фактического рядов частот Пирсон предложил взять среднее арифметическое квадратов отклонений соответствующих частот, разделенных на теоретические частоты

(1)

Если все фактические и теоретические частоты совпадают, то случайная величина . В других случаях величина (1) отличается от нуля, и тем более, чем больше расхождения между и . По таблицам критических точек Пирсона находят точку , где – это число групп (частичных интервалов) выборки; – число параметров теоретического распределения, которые было оценено по данным выборки, – уровень значимости, определяющий величину допустимой ошибки (0.1, 0.05, 0.01). В случае нормального распределения =2 (математическое ожидание и дисперсия), в случае распределения Пуассона =1 (оценивают один параметр ).

Правило применение критерия Пирсона:

1. Вычислить по формуле (1)

2. Найти по таблице

3. Сравнить фактическое и критическое значения

а) – нет оснований для отклонения выдвинутой гипотезы о теоретический закон распределения

б) – гипотезу о законе распределения следует отклонить.

Для проверки правильности вычислений используют формулу

.

Пример 4.

Проверить по критерию Пирсона выдвинутую гипотезу о нормальном распределении совокупности.

Решение:

Вспомогательные вычисления удобно проводить в таблице

				0,06		20,06
				0,01		113,01
		-2		0,03		133,03
		-1		0,01		103,01
				0,02		52,02
						500,13

распределение выбрано верно.

Эмпирические данные наблюдений согласованы с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Дата добавления: 2014-01-20