Линейные дифференциальные уравнения

Лекция15

Уравнение ,

где , - непрерывная функция от на интервале , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и её производная входят в это уравнение в первой степени – линейно.

Линейные уравнения обычно решают методом Бернулли.

Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций и .

Пусть , тогда или ,

и уравнение примет вид

или .

Полученное уравнение разобьём на два таким образом:

1) Выберем функцию так, чтобы сумма второго и третьего слагаемых обратилась в нуль:

;

2) .

Решаем первое: так как , относительно имеем уравнение с разделяющимися переменными:

или

Функцию подставим во второе уравнение:

, откуда .

.

Найдём общее решение по формуле

,

подставив найденные функции вместо , .

Пример 20 Решить уравнение .

Решение:

Положим , .

Подставляя выражения для и в данное уравнение получим:

1)

2) .

Решаем первое уравнение:

После разделения переменных получим . Отсюда или .

Решаем второе уравнение:

Подставим найденное значение , получим:

.

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, находим функцию :

.

Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:

или

.

Дата добавления: 2014-01-11