Экспоненциальный закон

Теоретические частоты для экспоненциального закона распределения определяют по формуле:

, (5.18)

где е-х — экспоненциальная функция, значения которой табулированы;

х — условные отклонения середин классов

. (5.19)

Пример. Проведем выравнивание по экспоненциальному закону эмпирического распределения наработки на отказ. (N = 77; K = 36; X = 49,48 мото-ч) [5, 6].

Выравнивание эмпирического распределения наработки на отказ приведено в табл. 5.5 и на рис. 5.3.

Таблица 5.5

Середина	Эмпирическая			Теоретические частоты
класса W	частота f		е^-х		f
		3,36	0,0344	1,373
		2,85	0,0578	2,306
		2,33	0,0973	3,882
		1,81	0,1636	6,528
		1,30	0,2725	10,873
		0,78	0,4584	18,290
		0,26	0,7710	30,763
Всего		—	—	74,015

Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов одна и та же. Для проверки согласованности теоретического и статистического распределений наиболее распространенным является критерий c² Пирсона. Величину

критерия c² рассчитывают по формуле:

, (5.20)

где c² — стандартные значения критерия; f, f` — эмпирические и теоретические частоты классов соответственно.

Значения c² находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свобод [6, 8].

Первичное 1 и вторичное 2 числа степеней свободы определяют по следующим формулам:

1 = r1 - 3; 2 = r2 - 3.

Крайние классы с частотой f` f`min объединяют с соседними клас­сами f`min — минимально допустимая теоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числа степеней свободы (табл. 5.6).

Таблица 5.6

n			3 6	> 6
f`min				0,5

Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований 1 0,999; при обычной 2 0,99; при большой 3 0,95.

Пример. Оценить различие распределений по данным примера для закона распределения Вейбулла. Схема определения различия распределений приведена в табл. 5.7.

Число классов в распределениях до и после объединения:

r1 = r2 = 7.

Число степеней свободы (первичное и вторичное) равно

1 = 2 = 7 – 3 = 4.

Таблица 5.7

W	f	f`	f–f`	(f– f`)^2	(f–f`)^2/ f`
		0,98	1,02	1,04	1,060
		2,27	0,73	0,55	0,240
		4,78	0,78	0,60	0,125
		7,33	1,33	1,77	0,240
		9,87	2,87	8,24	0,834
		10,42	3,58	12,82	1,230
		7,91	2,09	4,37	0,552
Всего:		43,56	—	—	4,281

По таблицам [6-8] находим стандартное значение c² при соответственно 0,95; 0,99; 0,999.

Таким образом, при любой ответственности испытаний c² < 02.

Различия не достоверны. Можно считать, что эмпирическое распределение согласуется с распределением Вейбулла.

Дата добавления: 2014-01-20