Теорема Чебышева. Теорема: Если имеется некоторая последовательность попарно независимых случайных величин , причем их дисперсии не превышают некоторой константы

Теорема: Если имеется некоторая последовательность попарно независимых случайных величин , причем их дисперсии не превышают некоторой константы , то как бы ни было мало положительное число , то вероятность неравенства:

,

при достаточно больших будет сколь угодно близка к единице.

То есть другими словами:

.

Доказательство:

Рассмотрим новую СВ - так называемую выборочным средним.

Найдем и :

,

.

Ввиду того, что , то

Воспользуемся вторым неравенством Чебышева:

Перейдем к пределу при :

.

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривать достаточно большое число независимых СВ (имеющих ограниченные дисперсии), то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонения среднеарифметического случайных величин от среднего арифметического математических ожиданий будет сколь угодно малым.

Замечание: Сходимость , где , называется сходимостью по вероятности и обозначается . Это означает, что вероятность того, что отклоняется от на какую-либо случайную величину стремится к нулю.

Следствие: если имеется некоторая последовательность попарно независимых СВ и их математические ожидания одинаковы , то:

.

Доказательство: очевидно, что .

Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем: не смотря на то, что отдельные СВ могут принимать значения, далекие от их математического ожидания, среднее арифметического достаточно большого числа СВ с большой вероятностью примут значения близкие к определенному постоянному числу.

Таким образом, из теоремы Чебышева следует, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых СВ (имеющих ограниченные дисперсии) утрачивают характер случайной величины.

Дата добавления: 2014-01-20