Группоиды, полугруппы и группы

Алгебры

Лекция 2. Основные алгебраические структуры

Пусть Х - непустое множество. Внутренней операцией t множества Х называется функция t: Хⁿ ® Х, где число n – арность операции. Внутренняя операция арности2 называется бинарной, арности1 - унарной. Бинарную операцию t обозначают некоторым символом (+, ×, _* и др.) и вместо t(x, y)пишут, например, x _* y или просто xy.

Одноосновной алгеброй или просто алгеброй называется множество (обозначим его Х) с системой заданных на нем операций.

Внутренняя бинарная операция _* (далее для краткости – просто операция), заданная на алгебре с основным множеством Х, называется:

1) ассоциативной, если для любых x, y, z Î Х

x _*(y _* z)=(x _* y)_* z;

2) коммутативной, если для любых x, y Î Х

x _* y = y _* x.

Множество G с одной внутренней бинарной операцией _* называется группоидом,обозначается (G;_*). Элемент е Î G называется нейтральным или единичным относительно операции _*, если g _* е = е _* g = g для любого элемента g Î G.

Таблицей Кэли группоида (G;_*), где G ={ g ₁,…, g_n }, называют квадратную таблицу, у которой строки и столбцы "занумерованы" элементами g ₁,…, g_n и на пересечении строки g_i и столбца g_j записан результат операции g_{i *} g_j, i, j Î{1,…, n }.

Подмножество G ¢ группоида (G;_*) называется подгруппоидом, если оно замкнуто относительно операции _*, то есть если g, g ¢Î G ¢, то и g _* g ¢Î G ¢.

Элементы g и g ¢группоида G коммутируют (или перестановочны), если g _* g ¢ =g ¢_* g. Группоид (G;_*) называется коммутативным, если операция _* на G коммутативна.

В группоиде имеется не более одного единичного элемента е. Действительно, если е ¢– другая единица группоида, то е ¢= е ¢_* е = е.

Группоид (G;_*) с заданной на нём ассоциативной операцией _* называется полугруппой.

Идемпотентом полугруппы G называется ее элемент i со свойством: i _* i = i. Множество всех идемпотентов полугруппы G обозначим E (G). Полугруппа G называется унипотентной, если ï E (G)ï=1.

Полугруппу с единичным элементом называют моноидом (или полугруппой с единицей). Моноидом является, например, N - множество натуральных чисел относительно умножения.

Элемент g моноида G с единицей е называется обратимым, если найдётся элемент g ¢Î G, для которого g _* g ¢ =g ¢_* g=е, такие элементы g и g ¢ называются взаимно обратными.

Если в моноиде G для элемента g имеется обратный элемент g ¢, то он единственный (обозначается g ^-1). В самом деле, если g ¢¢ - другой элемент обратный к g, то, используя ассоциативность операции, имеем:

g ¢= g ¢_* е = g ¢_*(g _* g ¢¢)=(g ¢_* g)_* g ¢¢= е _* g ¢¢= g ¢¢.

Если в моноиде G для элементов g и h имеются обратные элементы g ^-1 и h ^-1, то обратным к элементу g _* h является элемент h ^-1_* g ^-1.

Группой называется моноид G, все элементы которого обратимы. Иначе, множество G –группа с внутренней бинарной ассоциативной операцией _*, относительно которой в G имеется единица и для каждого элемента имеется обратный. Группу можно рассматривать как унипотентную полугруппу. Действительно, если в группе i _* i = i, то умножив обе части на i ^-1, получаем i = е.

Подполугруппой полугруппы G называется ее подмножество G ¢, являющееся полугруппой, обозначается G ¢£ G. Подгруппой полугруппы или группы G называется ее подмножество G ¢, являющееся группой, обозначается G ¢£ G.

Подполугруппа (подгруппа) G ¢ называется собственной, если G ¢ - собственное подмножество полугруппы (группы) G.

Операция _* полугруппы G индуцирует операцию на подмножествах X, Y полугруппы G:

XY = X _* Y ={ xy: x Î X, y Î Y }.

Так как эта операция внутренняя на 2 ^G, то тем самым определена полугруппа 2 ^G, при этом если G - моноид с единицей e, то 2 ^G - моноид с единицей { e }.

Множество всех элементов моноида G, имеющих обратные элементы, образует максимальную подгруппу моноида G, называемую группой обратимых элементов моноида G (обозначается I_G). Если G – группа, то I_G = G. Если G – моноид, то единица подгруппы не обязана совпадать с единицей моноида.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. В зависимости от полугрупповой (групповой) операции, сложения или умножения, полугруппу (группу) называют аддитивной или мультипликативной. Порядок конечной полугруппы или группы G (то есть число элементов в G) обозначается символом | G | или ord G.

Пример 1. Группы:

а) множество R действительных чисел относительно сложения и множество R {0} относительно умножения;

б) множество Z целых чисел относительно сложения;

в) множество Q рациональных чисел относительно сложения и множество Q {0} относительно умножения. w

Пример 2. Полугруппы, не являющиеся группами:

а) множество N натуральных чисел относительно умножения;

б) множество Z целых чисел относительно умножения. w

Дата добавления: 2014-01-20