Векторные пространства

Пусть имеется поле Р и множество V, на котором заданы две операции: внутренняя бинарная операция сложения и операция умножения элементов множества V на элементы поля, результат умножения принадлежит множеству V. Множество V называется векторным пространством над полем Р, а его элементы – векторами, если V – абелева группа относительно + и для любых a,bÎ Р и x, y Î V выполнено:

1) 0× х = 0, где 0Î Р, 0 Î V, где 0 - нуль пространства;

2) 1× х = х,где 1Î Р;

3) (a×b) ×х =a×(b ×х);

4) (a+b) ×х =a ×х +b ×х;

5) a×(х + у)=a ×х +a ×у.

Вектор a₁ х ₁+…+a _пх_п, где a₁,…,a _п Î Р, называется линейной комбинацией векторов х ₁,…, х_п из V. Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если a₁=…=a _п =0, и нетривиальной в противном случае.

Векторы х ₁,…, х_п линейно зависимы, если их некоторая нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, и линейно независимы - в противном случае.

Пространство V называется п – мерным, а п – числом измерений или размерностью пространства V (обозначается dim V = п), если в V существуют п линейно независимых векторов, а любые п +1 векторов из V линейно зависимы.

Если в пространстве V имеется линейно независимая система из любого числа векторов, то пространство V называется бесконечномерным.

Система { х ₁,…, х_п } линейно независимых векторов п –мерного пространстваназывается базисом пространства. Любой элемент пространства V представляется однозначно в виде линейной комбинации элементов базиса:

х =a₁ х ₁+…+a _пх_п.

Элементы поля a₁,…,a _п называются координатами вектора х в базисе { х ₁,…, х_п }. При разных базисах координаты вектора х в общем случае различны.

Пример 1.5. Векторные пространства.

а) Пространство n –мерных векторов над полем Р (обозначается Рⁿ), которое есть множество{(a₀,a₁,…,a _{п -1})} слов длины n в алфавите Р; сумма векторов определена формулой

(a₀,a₁,…,a _{п -1})+(b₀,b₁,…,b _{п -1})=(a₀+b₀,a₁+b₁,…,a _{п -1}+b _{п -1}),

и умножение вектора на скаляр b (элемент поля) определено формулой

b(a₀,a₁,…,a _{п -1})=(ba₀,ba₁,…,ba _{п -1}).

Пример базиса пространства Рⁿ - система n векторов, у которых ровно одна координата равна единице поля, а остальные координаты равны нулю поля.

б) множество Р [ x ] многочленов (над полем Р) степени, меньшей п:

Р [ x ]={a₀+a₁ x+ a₂ x ²+…+a _{п -1} x^{п -1}},

пример базиса пространства Р [ x ] - система многочленов {1, x,…, x^{п -1}}.

в) множество P ^¥ бесконечных последовательностей над полем P, пример базиса – множество последовательностей, у которых на i -м месте записана 1 поля, а на остальных местах – нули, i =1,2,… w

Подмножество V ¢пространства V, являющееся пространством, называют подпространством пространства V. Подмножество V ¢, замкнутое относительно обеих операций, образует подпространство, при этом dim V ¢£dim V.

Пересечение подпространствпространства также есть подпространство.

Если H Í V,то наименьшее подпространство V ¢ пространства V, содержащее в качестве подмножества H, то есть H Í V ¢Í V, называют линейной оболочкой множества H или подпространством, порождённым множеством H. Это подпространство (обозначается á H ñ) состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов множества H.

[1] Понятие определителя (детерминанта) квадратной матрицы и его свойства даны в курсе линейной алгебры.

Дата добавления: 2014-01-20