Метод неопределенных множителей Лагранжа. Введем функцию Лагранжа

Введем функцию Лагранжа

,

где — функции, стоящие в левых частях равнений связи (1), а некоторые постоянные, которые называются множителями Лагранжа. Очевидно, что при наличии связей (1) условный экстремум функции совпадает с безусловным экстремумом функции Лагранжа, поскольку при наличии связей разность совпадает с разностью и, следовательно, из неравенств или следуют неравенства , .

Необходимые условия существования экстремума. Пусть дифференцируемая функция при наличии связей (1) имеет условный экстремум в точке . Пусть также функции, стоящие в левых частях равенств (1), дифференцируемы в некоторой окрестности точки , а якобиан отличен от нуля. Тогда справедливы следующие равенства

, ,

, , (4)

, .

Решая систему (4), находят координаты точек возможных экстремумов и соответствующие значения множителей Лагранжа . Чтобы выяснить являются ли найденные точки точками экстремума, нужно проверить выполнение достаточного условия.

Достаточное условие. Заметим, что из уравнений (1) следует, что дифференциалы связаны между собой соотношениями

,

то есть удовлетворяют системе

, (5)

Поскольку определитель системы (5), равный якобиану , отличен от нуля, то дифференциалы могут быть однозначно выражены через дифференциалы .

Пусть функции, , , …, дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки , и в точке выполнены необходимые условия существования условного экстремума (4). Тогда, если второй дифференциал функции Лагранжа при выполнении условий (5) положительно (отрицательно) определен, то в точке имеется условный строгий минимум (максимум). Если при условиях (5) второй дифференциал функции Лагранжа знаконеопределен, то в точке условного экстремума нет.

Дата добавления: 2014-01-20