Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с кратными частотами. Фигуры Лиссажу

Сложение одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты

Энергия колебаний в контуре

Свободные незатухающие колебания в колебательном контуре

Энергия гармонических колебаний

В уравнения и примем, что начальная фаза, то тогда и.

В момент времени

В момент времени

В момент времени

0 Tt

W_полн   W_п   W_к  

W

Найдем потенциальную энергию.

Незатухающие колебания возникают в колебательном контуре, в котором имеется катушка индуктивности L и конденсатор C, активное сопротивление R=0.

L

C

В таком контуре происходит перекачка энергии конденсатора (электрическая энергия) в энергию токов катушки (магнитная, аналог кинетической) и обратно.

В момент времени

Конденсатор полностью заряжен.   .  

L

+q    

-q    

В момент времени

Конденсатор разряжается и в контуре потечет ток, поэтому возникает магнитное поле в катушке индуктивности и к моменту времени – max    

L

Ток начинает уменьшаться и по правилу Ленца в катушке будет индуцироваться ток того же направления, что и ток разряда конденсатора. Конденсатор начинает перезаряжаться. – max    

В момент времени

L

-q    

+q    

В момент времени

L

В этот момент времени все процессы возникают в обратном направлении, и когда все придет в первоначальное состояние.  

Выведем дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний в контуре.

Возьмем производную по времени:

– это дифференциальное уравнение второго порядка свободных гармонических колебаний в контуре.

Сравним с.

Решением нашего является

  это собственная частота колебаний контура.    

– Формула Томсона

Таким образом,q, I колеблются гармонически с одинаковыми периодами, но со сдвигом по фазе.

Иногда тело может участвовать в нескольких колебаниях, будем считать, что на данное тело вдоль оси Х действует две силы.

Сложим два колебания:

Воспользуемся методом векторной диаграммы.

x₁ – проекция вектора

x₂ – проекция вектора

x – проекция вектора на ось x

O D B x

Dj

Dj₀₂

Dj₀₁

Dj₀

g

C

Найдем и. Результирующим колебанием будет гармоническое колебание, происходящее с частотой, амплитудой А и начальной фазой. Рассмотрим треугольник ОА₁А. По теореме косинусов:

Найдем через

x

t

A₁

A₂

A

Частный случай:   1. j₀₂–j₀₁=Dj=0 – cимфазные колебания. A=A₁+A₂ 2. j₀₂–j₀₁=Dj=pA=|A₁–A₂|  

x

t

A

A₁

A₂

§8.1.Сложение одинаково направленных колебаний с близкими частотами (биение)

Для упрощения примем, что амплитуды и

–--– результирующие колебание.

Амплитуда меняется по гармоническому закону:.

В результате возникает колебание с частотой ω и периодически меняющейся со временем амплитудой.

2A

-2A

Т_б

X

t

2A×cosDw/2×t

Если,то

A_max   A_min  

1. Равные частоты ω. Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей Х и У.

y   F_x

F_{y x}

Для простоты примем, что, тогда разность фаз

Исключим время, найдя зависимость y (х), то есть траекторию движения системы y (х).

– уравнение эллипса произвольно ориентированного вдоль оси x и y.  

a) Рассмотрим частный случай:

O

O¢

A₁

A₂

a

Колебания буду происходить вдоль прямой OO¢ с частотой.

O

O¢

A₁

A₂

a

б)      

в)

– каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями x и y. Если, то это окружность.  

A₂

A₁

t=0

t=

Определим направление колебания точки. Это зависит от разности фаз.

2. Кратные частоты.

Пусть как,

Исключаем время и найдем y (x)

б)  

A₂

-A₂

A₁

a)

A₂

-A₂

A₁

в)  

Соотношение частот определяется числом соотношений вдоль оси x и yn_x:n_y=w_y:w_x

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны. Траектория ориентирующего колебания сложна, данную траекторию назвали фигурами Лиссажу.

Фигура Лиссажу – устойчивые траектории, по которым движется точка, участвующая в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с равными или кратными частотами. Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения, соотношения амплитуд и разности фаз.

    1:1   1:2   1:3     2:3     3:4

Dj=0 p  

Дата добавления: 2014-01-11